Die folgende Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Sie ist aber sicher eine
gute Richtschnur für das Grundwissen, dass Sie in Analysis I erworben haben sollten
und ein Leitfaden für die Vorbereitung auf die Prüfungsklausur. Bitte beachten Sie auch die
Rückseiten der Übungsblätter, auf die oft nicht gesondert verwiesen wird, sowie die Beispiele
aus der Vorlesung. In der Klausur werden nicht nur dazu ähnliche Problemstellungen
gestellt, sondern auch Definitionen, Sätze und Beweise aus der Vorlesung abgefragt
(falls diese nicht zu kompliziert sind).

Das gesamte Team wünscht Ihnen viel Erfolg bei der Vorbereitung!

1. Vollständige Induktion

- Beweisen Sie die Rekursionsformel für die Binomialkoeffizitenten!
- Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz!
- Übungsblatt 2, Aufgabe 1

2. Zahlbereiche

2.1. Angeordnete Körper
- Ungleichungen und Gleichungen mit Beträgen (Übungsblatt 3, Aufgaben 2,3,4)
- Beweisen Sie die Bernoullische Ungleichung!

2.2. Reelle Zahlen
- Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl x gibt, die x³=4 erfüllt. 
- Was ist eine obere Schranke und was das Supremum einer Teilmenge eines angeordneten Körpers?
- Welche Axiome erfüllt der Körper der reelen Zahlen außer den Körperaxiomen?
- Blatt 4, Aufgabe 1,2
- Welche dieser Axiome erfüllt der Körper der rationalen Zahlen nicht?
- Erläutern Sie das Axiom des Archimedis und den Satz von Eudoxos!
- Definieren Sie die k-te Wurzel aus einer nichtnegativen reellen Zahl. Zeigen Sie die Eindeutigkeit.
- Konstruieren Sie diese Zahl als Supremum einer nichtleeren nach oben beschränkten Menge!
- Beweisen Sie die strenge Monotonie der k-ten Wurzel auf den nicht-negativen reellen Zahlen.
- Begründen Sie, dass die rationalen in den reelen Zahlen dicht sind!
- Erläutern Sie das Intervallschachtelungsprinzip!
- Beweisen Sie, dass die Menge der rationalen Zahlen abzählbar ist!
- Zeigen Sie, dass es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt!
- Blatt 5, Aufgabe 1

2.3. Komplexe Zahlen
- Definieren Sie die komplexen Zahlen und begründen Sie, dass diese einen Körper definieren!
- Rechnen mit komplexen Zahlen und geometrische Interpretation (Blatt 5, Aufgabe 2-4)

3. Folgen und Reihen

3.1. Grenzwerte
- Was sind konvergente Folgen? Definieren Sie den Begriff des Grenzwertes!
- Zeigen Sie für die Fiolgen aus Satz 28 Konvergenz und bestimmen und begründen Sie deren Grenzwerte!
- Was bedeutet, dass der Grenzwert einer Folge Unendlich ist?
- Fomulieren und begründen Sie die Rechengesetze für Grenzwerte von Folgen!
- Formulieren und beweisen Sie das Einschnürungslemma!
- Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge beschränkt ist!
- Wann genau konvergieren monoton wachsende Folgen? Beweisen Sie Ihre Behauptung!
- Kettenbrüche: Sei a₀=1, a_n+1=1/(1+a_n) für alle natürlichen Zahlen n>0. Konvergiert die Folge (a_n)?
  Wenn ja, bestimmen Sie den Grenzwert! Begründen Sie Ihre Antwort!
- Zeigen Sie, dass die Folge ((1+1/n)ⁿ)_n konvergiert!
- Grenzwertbetrachtungen für verschiedene Folgen (Batt 6, Blatt 7: 1-3)
- Häufungspunkte, liminf, limsup
- Was besagt der Satz von Bolzano-Weierstrass?
- Was ist eine Cauchyfolge?
- Zeigen Sie, dass jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist!
- Beweisen Sie, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist!
- Blatt 8: Aufgaben 2,4

3.2. Reihen
- Was ist eine konvergente Reihe?
- Beweisen Sie, dass die Reihe 1+2^-s+3^-s+... genau dann konvergiert, wenn s>1 ist.
- Beweisen Sie, dass die geometrische Reihe 1+a^-1+a^-2+a^-3+... für positive a genau dann konvergiert,
  wenn a>1 ist!
- Formulieren und beweisen Sie das Majoranten-Kriterium!
- Formulieren und beweisen Sie das Leibniz-Kriterium!
- Was bedeutet absolute Konvergenz einer Reihe?
- Formulieren Sie den Multiplikationssatz für Reihen!
- Formulieren und beweisen Sie Kriterien für die absolute Konvergenz von Reihen!
- Blatt 8: 3,4, Blatt 9: 1,2,3

3.3. Potenzreihen
- Was ist der Konverhenzradius einer Potenzreihe?
- Diskutieren Sie das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe hinsichtlich ihres Konvergenzradiusses!
- Geben Sie je ein Beispiel für eine Reihe mit endlicher, unendlicher bzw. leerem Konvergenzkreis an!
- Welche Formeln für den KOnvergenzradius einer Reihe kennen Sie?
- Blatt 10, 1-3

4. Stetigkeit

- Geben Sie die Definition für die Stetigkeit einer Funktion f:C-->C an!
- Was ist Lipschitz-stetig?
- Definieren Sie "gleichmäßig stetig"!
- Begründen Sie, dass die Summe, das Produkt, ggf. der Quotient, die Verknüpfung stetiger Funktionen wieder stetig sind.
- Blatt 11
- Was heißt eine Folge von Funktionen gleichmäßig konvergent?
- Geben Sie ein Beispiel einer Folge von Funktionen an, die punktweise aber nicht gleichmäßig konvergiert! Begründen Sie!
- Beweisen Sie, dass der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen wieder eine stetige Funktion ist!
- Formulieren und beweisen Sie das Weierstraß-Kriterium für die gleichmäßige Konvergenz von
  Funktionenreihen!
- Beweisen Sie, dass Potenzreihen auf ihrem Konvergenzkreis gegen eine stetige Funktion konvergieren
  und diese Konvergenz auf jedem echten Teilkreis gleichmäßig ist!
- Formulieren und beweisen Sie den Zwischenwertsatz!
- Blatt 12
- Warum existiert die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion?
- Definieren Sie beliebige Potenzen nicht-negativer reeller Zahlen!
- Zeigen Sie dass eine stetige Funktion auf jeder beschränkten, abgeschlossenen Menge ihr Maximum
  und ihr Minimum annimmt!
- Beweisen Sie, dass jede stetige Funktion auf einer beschränkten, abgeschlossenen Menge gleichmäßig stetig ist!
- Definieren Sie die Grenzwerte von Funktionen in einem Punkt, von rechts/links, im Unendlichen!
- Blatt 13, Blatt 14:1

5. Differentialrechnung

- Definieren Sie Differenzierbarkeit einer reellen Funktion und deren erste Ableitung (in einem Punkt)!
- Zeigen Sie, dass eine Funktion genau dann in einem Punkt differenzierbar ist, wenn man sie linear
  approximieren kann (im Sinne von Satz 90)!
- Zeigen Sie, dass aus der Differenzierbarkeit in einem Punkt die Stetigkeit in diesem folgt!
- Beweisen Sie die Produkt-, Quotienten- und die Kettenregel!
- Was sind lokale Extremwerte von Funktionen?
- Formulieren Sie ein notwendiges Kriterium dafür, dass eine differenzierbare Funktion in einem Punkt einen lokalen Extremwert annimmt
  und beweisen Sie dieses! Ist die Bedingung hinreichend? Begründen Sie!
- Beweisen Sie den Satz von Rolle!
- Beweisen Sie den Mitelwertsatz der Differentialrechnung!
- Geben Sie ein Kriterium für die Monotonie einer differenzierbaren Funktion an und beweisen Sie es!
- Formulieren Sie ein hinreichendes Kriterium dafür, dass eine Differenzierbare Funktion in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt
  und beweisen Sie dieses! Ist dies auch ein (globales) Maximum? Ist das Kriterium auch notwendig? Begründen Sie!
- Blatt 14: 2,3
- Was ist Konvexität einer reellen Funktion?
- Geben Sie ein Kriterium für die Konvexität einer zweimal differenzierbaren Funktion an!
- Beweisen Sie die Jensensche Ungleichung (Blatt 14: 4)
- Beweisen Sie die Youngsche Ungleichung (Lemma 105)!
- Beweisen Sie die Höldersche Ungleichung!
- Beweisen Sie die Minkowski-Ungleichung!
- Was besagt die l'Hospitalsche Regel (für endliche Grenzwerte von Funktionen)? (Blatt 15:1,2)

6. Integralrechung

- Was ist eine Treppenfunktion? Was ist das Riemann-Integral von einer Treppenfunktion (über ein
  abgeschlossenes beschränktes Intervall [a,b])?
- Was ist das Ober-bzw. Unter-Integral einer Funktion auf [a,b]? Berechnen Sie dies für ausgewählte Beispiele!
- Definieren Sie Riemann-Integrierbarkeit (im Sinne von Darboux) und Riemann-Integral!
- Untersuchen Sie diese Begriffe an ausgewählten Beispielen (z.B. aus der Vorlesung)!
- Zeigen Sie das stetige Funktionen auf [a,b] Riemann-integrierbar sind!
- Zeigen Sie dies auch für monotone Funktionen!
- Beweisen Sie den Mittelwertsatz der Integralrechnung!
- Was ist eine Stammfunktion einer gegebenen Funktion?
- Formulieren und beweisen Sie den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung!
- Substitution und partielle Integration
- Blatt 16: 4 und vierte Aufgabe Rückseite sowie Beispiele in der Vorlesung!