Die folgende Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Bitte beachten Sie bei
der Vorbereitung auch die Rückseiten der Übungsblätter.

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

1. Integration

- Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung (Wiederholung aus Analysis I)
- Rechenregeln für die Integration (Wiederholung aus Analysis I), Rechenbeispiele
- Uneigentliche Integrale: Konvergenzkriterien und Berechnung (Blatt 2 inkl. Rückseite)
- Länge von Kurven (Bogenlänge): Definition, Berechnung in Beispielen
- Umfang des Einheitskreises, grundlegende Eigenschaften
   von trigonometrischen Funktionen, Additionstheoreme
- Partialbruchzerlegung zur Berechnung von Integralen rationaler Funktionen

2. Taylorreihen und Fourierreihen

2.1. Taylorreihen
- Taylor-Formel mit Taylor- und Lagrange-Restglied, Beweis
- Definition der Taylor-Reihe
- Berechnung von Beispielen
- Die Taylor-Reihe von einer konvergenten Potenzreihe
- Binomische Reihe: Definition, Beweis der Konvergenz

2.2. Fourierreihen
- Definition der Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion
- Der Begriff eines Skalarproduktes, Besselsche Ungleichung (inkl. Beweis)
- Parsevalsche Gleichung, L^2-Konvergenz der Fourier-Reihe gegen die Funktion
  (inkl. Beweis)
- Rechenbeispiele, Anwendung: Berechnung von speziellen Reihen
  (Beispiele in der Vorlesung und Blatt 6 inkl. Rückseite)

3. Differentialgleichungen

3.1. Gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Veränderlichen
- Der Begriff einer gewöhnlichen DGL
- Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichungen
  Idee der Variation der Konstanten (inkl. Beweis), Rechenbeispiele
  (Blatt 7 inkl. Rückseite)
- Differentialgleichungen mit getrennten Variablen:
  allg. Lösungsansatz (inkl. Beweis), Rechenbeispiele
- Homogene Differentialgleichungen: Allg. Lösungsansatz (inkl. Beweis),
  Rechenbeispiele

3.2 Gewöhnliche DGL-Systeme
- Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten: Ansatz über Eigenwerte
  und Eigenvektoren, allg. Lösung mithilfe der Exponentialfunktion auf
  Matrizen, Rechenbeispiele
- Reihenansatz im Fall von homogenen Systemen mit variablen Koeffizienten,
  Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung, Rechenbeispiele
- Inhomogene Systeme: Ansatz der Variation der Konstanten,
  Rechenbeispiele (Blatt 8 inkl. Rückseite)
- Wronski-Determinante, Formel für die Ableitung der Determinante einer matrixwertigen
  Funktion (inkl. Beweis)

3.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung
- Beziehung zu DGL-Systemen erster Ordnung
- Beispiel der Newton-Gleichung
- Lineare DGL höherer Ordnung: Allgemeine Form von Lösungen
  im homogenen und im inhomogenen Fall
- Charakteristisches Polynom
- Berechnen von Lösungen der inhomogenen Gleichung in Spezialfällen
  (VL Satz 163 und die Rechenbeispiele dort, Blatt 9 - insbesondere Aufgabe 3)

4. Metrische Räume

4.1 Der Begriff eines metrischen Raums
- Die Axiome eines metrischen Raums,
  Beispiele: Metriken auf dem euklidischen Raum
- Der Begriff einer offenen Kugel und der Begriff einer offenen Teilmenge
- Hausdorffsches Trennungsaxiom (inkl. Beweis)
- Der Begriff eines topologischen Raums
- Das Innere, der Rand und der Abschluss einer Teilmenge eines
   metrischen Raums, Beispiele

4.2 Folgen in metrischen Räumen
- Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen,
  Spezialfall des euklidischen Raums
- Äquivalenz von Abgeschlossenheit und Folgenabgeschlossenheit
  auf metrischen Räumen (inkl. Beweis)
- Der Begriff eines vollständigen metrischen Raums, Beispiele

4.3 Stetige Abbildungen
- Der Begriff einer stetigen Abbildung zwischen zwei metrischen Räumen,
  Beispiele
- Der Begriff eines Homöomorphismus zwischen zwei metrischen Räumen,
  Beispiele (siehe auch Rückseite von Blatt 12)
- Stetige lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen
- Gleichmäßige Konvergenz auf metrischen Räumen

4.4 Kompaktheit
- Der Begriff einer kompakten Teilmenge eines metrischen Raums
- Invarianz von Kompaktheit unter Homöomorphismen
- Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit auf
   metrischen Räumen (inkl. Beweis)
- Der Satz von Heine Borel inkl. Beweis, Anwendungen  
  (siehe auch Rückseite von Blatt 12)
- Stetige Funktionen auf komapkten Teilmengen:
  Existenz von Minima und Maxima

5. Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher

- Differenzierbarkeit einer Funktion mehrerer Veränderlicher
- Richtungsableitungen, partielle Ableitungen
- Jacobi-Matrix und Kettenregel
- Beziehung zwischen der Differenzierbarkeit und der
   Existenz bzw. Stetigkeit der partiellen Ableitungen
- Mittelwertsatz
- Höhere Ableitungen, Satz von Schwarz (mit Beweisidee)
- Banachscher Fixpunktsatz (mit Beweis)
- Satz über die Umkehrabbildung
- Satz über implizite Funktionen, Beispiele für die Berechnung
  der Ableitung einer implizit definierten Funktion