Die folgende Liste erhebt keinen
Anspruch auf Vollständigkeit. Bitte beachten Sie bei
der Vorbereitung auch die Rückseiten der Übungsblätter.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
1. Integration
- Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung
(Wiederholung aus Analysis I)
- Rechenregeln für die Integration (Wiederholung aus Analysis I),
Rechenbeispiele
- Uneigentliche Integrale: Konvergenzkriterien und Berechnung (Blatt
2 inkl. Rückseite)
- Länge von Kurven (Bogenlänge): Definition, Berechnung in
Beispielen
- Umfang des Einheitskreises, grundlegende Eigenschaften
von trigonometrischen Funktionen, Additionstheoreme
- Partialbruchzerlegung zur Berechnung von Integralen rationaler
Funktionen
2. Taylorreihen und Fourierreihen
2.1. Taylorreihen
- Taylor-Formel mit Taylor- und Lagrange-Restglied, Beweis
- Definition der Taylor-Reihe
- Berechnung von Beispielen
- Die Taylor-Reihe von einer konvergenten Potenzreihe
- Binomische Reihe: Definition, Beweis der Konvergenz
2.2. Fourierreihen
- Definition der Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion
- Der Begriff eines Skalarproduktes, Besselsche Ungleichung (inkl.
Beweis)
- Parsevalsche Gleichung, L^2-Konvergenz der Fourier-Reihe gegen die
Funktion
(inkl. Beweis)
- Rechenbeispiele, Anwendung: Berechnung von speziellen Reihen
(Beispiele in der Vorlesung und Blatt 6 inkl. Rückseite)
3. Differentialgleichungen
3.1. Gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Veränderlichen
- Der Begriff einer gewöhnlichen DGL
- Homogene und inhomogene lineare Differentialgleichungen
Idee der Variation der Konstanten (inkl. Beweis),
Rechenbeispiele
(Blatt 7 inkl. Rückseite)
- Differentialgleichungen mit getrennten Variablen:
allg. Lösungsansatz (inkl. Beweis), Rechenbeispiele
- Homogene Differentialgleichungen: Allg. Lösungsansatz (inkl.
Beweis),
Rechenbeispiele
3.2 Gewöhnliche DGL-Systeme
- Homogene Systeme mit konstanten Koeffizienten: Ansatz über
Eigenwerte
und Eigenvektoren, allg. Lösung mithilfe der
Exponentialfunktion auf
Matrizen, Rechenbeispiele
- Reihenansatz im Fall von homogenen Systemen mit variablen
Koeffizienten,
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung,
Rechenbeispiele
- Inhomogene Systeme: Ansatz der Variation der Konstanten,
Rechenbeispiele (Blatt 8 inkl. Rückseite)
- Wronski-Determinante, Formel für die Ableitung der Determinante
einer matrixwertigen
Funktion (inkl. Beweis)
3.3 Differentialgleichungen höherer Ordnung
- Beziehung zu DGL-Systemen erster Ordnung
- Beispiel der Newton-Gleichung
- Lineare DGL höherer Ordnung: Allgemeine Form von Lösungen
im homogenen und im inhomogenen Fall
- Charakteristisches Polynom
- Berechnen von Lösungen der inhomogenen Gleichung in Spezialfällen
(VL Satz 163 und die Rechenbeispiele dort, Blatt 9 -
insbesondere Aufgabe 3)
4. Metrische Räume
4.1 Der Begriff eines metrischen Raums
- Die Axiome eines metrischen Raums,
Beispiele: Metriken auf dem euklidischen Raum
- Der Begriff einer offenen Kugel und der Begriff einer offenen
Teilmenge
- Hausdorffsches Trennungsaxiom (inkl. Beweis)
- Der Begriff eines topologischen Raums
- Das Innere, der Rand und der Abschluss einer Teilmenge eines
metrischen Raums, Beispiele
4.2 Folgen in metrischen Räumen
- Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen,
Spezialfall des euklidischen Raums
- Äquivalenz von Abgeschlossenheit und Folgenabgeschlossenheit
auf metrischen Räumen (inkl. Beweis)
- Der Begriff eines vollständigen metrischen Raums, Beispiele
4.3 Stetige Abbildungen
- Der Begriff einer stetigen Abbildung zwischen zwei metrischen
Räumen,
Beispiele
- Der Begriff eines Homöomorphismus zwischen zwei metrischen Räumen,
Beispiele (siehe auch Rückseite von Blatt 12)
- Stetige lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen
- Gleichmäßige Konvergenz auf metrischen Räumen
4.4 Kompaktheit
- Der Begriff einer kompakten Teilmenge eines metrischen Raums
- Invarianz von Kompaktheit unter Homöomorphismen
- Äquivalenz von Kompaktheit und Folgenkompaktheit auf
metrischen Räumen (inkl. Beweis)
- Der Satz von Heine Borel inkl. Beweis, Anwendungen
(siehe auch Rückseite von Blatt 12)
- Stetige Funktionen auf komapkten Teilmengen:
Existenz von Minima und Maxima
5. Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
- Differenzierbarkeit einer Funktion mehrerer Veränderlicher
- Richtungsableitungen, partielle Ableitungen
- Jacobi-Matrix und Kettenregel
- Beziehung zwischen der Differenzierbarkeit und der
Existenz bzw. Stetigkeit der partiellen Ableitungen
- Mittelwertsatz
- Höhere Ableitungen, Satz von Schwarz (mit Beweisidee)
- Banachscher Fixpunktsatz (mit Beweis)
- Satz über die Umkehrabbildung
- Satz über implizite Funktionen, Beispiele für die Berechnung
der Ableitung einer implizit definierten Funktion