Mögliche Prüfunsfragen zur Vorlesung Analysis III bei

Prof. Mohnke WS 2013/14
Kapitel IX Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Verändericher (2. Teil)
1. Erläutern Sie den Begriff einer Untermannigfaktigkeit des Rn. Entscheiden und begründen Sie für konkrete
Teilmengen des Rn, dass diese Untermannigfaltigkeiten sind.

2. Definieren Sie aufden Tangentialraum an eine Untermannigfaltigkeit in einem Punkt und geben Sie eine
weitere äquivalente Bedingung dafür an. Bestimmen Sie den Tangentialraum in einem Punkt an die
n-Sphäre.

3. Wann heißt eine Abbildung zwischen Untermannigfaltigkeiten des Rn differenzierbar? Was ist das Differential
einer solchen Abbildung? Berechnen Sie dieses in konkreten Situationen.

3. Erläutern Sie die Taylorentwicklung zur k-ten Ordnung einer k-mal differenzierbaren Funktion mehrerer
Veränderlicher. Wie sieht das Restglied aus? Berechnen Sie die Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung für
konkrete Beispiele.

4. Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen dafür an, dass eine zweimal stetig differenzierbare
Funktion mehrerer Veränderlicher in einem Punkt ein lokales Extremum besitzt. Berechnen Sie die kritsischen
Punkte einer konkreten Funktion und entscheiden Sie, ob ein lokales Maximum oder Minimum vorliegt und
ob dieses ein globales Maximim oder Minimum ist.

5. Geben Sie notwendige Bedinungen dafür an, dass eine Funktion wie in 4. in einem Punkt ein
lokales Extermum mit Nebenbedingungen besitzt. Berechnen Sie die kritsichen Punkte einer konkreten
Funktion mit konkreten Nebenbedigungen und entscheiden Sie, ob ein lokales Maximum oder Minimum
mit Nebenbedinungen vorliegt und ob dieses ein globales Maximim oder Minimum mit Nebenbedinungen ist.

Kapitel X Maß- und Integrationstheorie

6. Diskutieren Sie anhand der Vitali-Mengen, dass es kein nicht-triviales translationsinvariantes Maß auf den
reellen Zahlen geben kann.

7. Konstruieren Sie das Borel-Lebesgue-Maß auf dem Rn. Welche Eigenschaften hat dieses Maß?

8. Was sind Nullmengen? Diskutieren Sie diesen Begriff anhand der Menge der rationalen Zahlen
und der Cantormenge.

9. Was ist eine sigma-Algebra? Was ist ein Maß auf einer solchen sigma-Algebra? Geben Sie
Beispiele von beidem an. Wann nennt man ein Maß vollständig? Begründen Sie, dass man
jedes Maß auf genau eine Weise vervollständigen kann.

10. Was ist die Borelalgbra eines metrischen Raumes? Geben Sie verschiedene Beschreibungen
dieser an. Vergleichen Sie sie mit der sigma-Algebra, die bei der unter 7. genannten Konstruktion
eines Maßes entsteht.

11. Was ist das äußere Lebesgue-Borel-Maß auf den Teilmengen des Rn? Formulieren und beweisen
Sie den Satz von Carathéodory.

12. Zeigen Sie die Eindeutigkeit des Lebesgue-Maßes. Wie verhält es sich unter affinen Abbildungen
des Rn auf sich selbst? Beweisen Sie diese Aussage.

13. Beschreiben Sie den Begriff der Messbarkeit von Abbildungen und von Funktionen (deren Werte
auch "undendlich" sein dürfen) auf einem Maßraum. Geben Sie Beispiele und Gegenbeispiele an.

14. Formulieren und beweisen Sie den Approximationssatz messbarer Funktionen durch einfache
messbare Funktionen.

15. Definieren Sie das Lebesgue-Integral. Leiten Sie einfache Rechenregeln ab. Welche Regel(n) sind
nicht einfach nachzuweisen? Berechnen Sie erste kleine Beispiele.

16. Formulieren und beweisen Sie die Konvergenzsätze des Lebesgue-Integrals. Beweisen Sie die
Linearität des Lebesgue-Integrals.

17. Vergleichen Sie die Begriffe der Riemann- und der Lebesgue-Integrierbarkeit. Stimmen ggf. die
Integrale überein? Begründen Sie Ihre Antwort.

18. Definieren Sie den Begriff der Lp-Integrierbarkeit. Definieren Sie  Lp-Räume von Funktionen
auf Maßräumen. Was genau sind die Elemente dieser Menge? Zeigen Sie, dass dies vollständige
normierte Räume sind.

19. Ist die Menge aller Produkte von je einer Menge aus zwei sigma-Algebren eine sigma-Algebra
auf dem Produkt der dazugehörigen Räume? Was ist das Produkt von sigma-Algebren?
Charakterisieren Sie Messbarkeit von Funktionen auf solchen Produkten von Maßräumen.

20. Konstruieren Sie ein Maß auf dem Produkt zweier Maßräume, dass auf dem Produkt von je einer
Menge aus jeder der beiden sigma-Algebren das Produkt der jeweiligen Maße auf diesen ist.
Begründen Sie, dass es unter geeigneten Voraussetzungen an die Ausgangsmaße höchstens ein solches
Maß geben kann.

21. Formulieren und beweisen Sie die Sätze von Fubini und Tonelli. Wenden Sie diese zur Berechnung
geeigneter Beispiele von Integralen von Funktionen mehrerer Veränderlicher an.

22. Wann heißt ein Maß stetig und wann heißt es singulär bezüglich eines anderen Maßes? Formulieren
und beweisen Sie den Lebesgueschen Zerlegungssatz und den Satz von Radon-Nikodym.

23. Formulieren und beweisen Sie den "kleinen Darstellungssatz von Riesz" für stetige lineare Funktionale
auf Hilberträumen.

24. Was ist die symmetrische Ableitung eines Maßes auf Rn? Berechnen Sie dieses für einfache Beispiele.


25. Formulieren und beweisen Sie eine Formel für die symmetrische Ableitung des durch einen
Diffeomrphismus des Rn aus dem Lebesgue-Maß induzierten Maßes.

26. Formulieren und beweisen Sie die Transformationsformel für das Lebesgue-Integral unter einem
Diffeomorphismus des Rn. Benutzen Sie diese, um konkrete Integrale zu berechnen. Vergleichen Sie
die Formel mit der Substitutionsregel.
Kapitel XI Integration auf Untermannigfaltigkeiten und die Intgeralsätze
27. Konstruieren Sie das Lebesgue-Maß auf einer Untermannigfaltigkeit des Rn. Berechnen Sie Flächeninhalt konkreter Flächen in R3.

28. Erläutern Sie den Begriff der Untermannigfaktigkeit mit Rand. Entscheiden und begründen Sie für konkrete Teilmengen des Rn,
dass diese Untermannigfaltigkeiten sind.

29. Was sind Vektorfelder auf, was sind Verktorfelder entlang einer Untermannigfaltigkeit mit Rand?
geben Sie Beispiele an. Was ist das äußere Normalenfeld auf dem Rand einer Untermannigfaltigkeit?

30. Formulieren und beweisen Sie den Divergenzsatz von Gauß. Vergleichen Sie diesen mit der partiellen Interation
von reellen Funktionen einer Veränderlicher. Geben Sie ein Beispiel an.

31. Formulieren Sie den klassichen Satz von Stokes. Geben Sie ein Beispiel an.

Ab hier Zusatz!

32. Beweisen Sie den klassichen Satz von Stokes (siehe Skript).

 Kapitel XII Gewöhnliche Differentialgleichungen

33. Formulieren und beweisen Sie den Satz über die Eindeutigkeit der Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen.
Geben Sie ein Gegenbeispiel an.

34. Formulieren und beweisen Sie den Satz von Picard-Lindelöff.

35. Diskutieren Sie die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Anfangswerten.

36. Was ist der zeitabhängige Fluss einer solchen Differentialgleichung? Beweisen Sie,
dass dieser ein Ck-Diffeomorphismus auf das Bild ist.

37. Diskutieren Sie den Zusammenhang zwischen der Divergenz und der Veränderung des
Volumens eines kompakten Gebietes unter jenem Fluss.