Die folgende Liste erhebt keinen
Anspruch auf Vollständigkeit. Bitte beachten Sie bei
der Vorbereitung auch die Rückseiten der Übungsblätte sowie die
Rechenbeispiele aus
der Vorlesung.
Bei den zentralen Sätzen in jedem Abschnitt sollte sowohl die
Aussage des Satzes
als auch der Beweis gut präsent sein.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
1. Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
(Fortsetzung aus Analysis II)
- Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums,
differenzierbare Abbildungen auf
Untermannigfaltigkeiten,
Begriff des Tangentialraums
- Taylorreihen von Funktionen mehrerer Veränderlicher
- Lokale Extrema (notwendige und hinreichende Bedingungen)
- Extrema mit Nebenbedingungen
(notwendige und hinreichende Bedingungen)
2. Maß- und Integrationstheorie
2.1 Konstruktion des Lebesgue-Maßes
- Vitali-Mengen, Nicht-Existenz eines nicht-trivialen
translationsinvarianten
Maßes auf der Potenzmenge von [0,1].
- Halboffene Intervalle im euklidischen Raum, Figuren
- Maß eines halboffenes Intervalls, Konstruktion des äußeren Maßes
auf der Potenzmenge des euklidischen Raums, grundlegende
Eigenschaften
- Begriff einer Nullmenge, das Beispiel von Cantormengen
- Mengenringe, Mengenalgebren, Sigma-Algebren
- Definition der Borel-Algebra, Charakteriesirung von Borel-Mengen
- Abstrakter Begriff eines Maßes bzw. eine Maßraums
- Borel-Lebesgue-Maß als das äußere Maß auf der Borel-Algebra
- Vollständige Maße, Lebesgue-Algebra als die Vervollständigung
der Borel-Algebra, Lebesgue-Maß
- Begriff eines Prämaßes auf einem Ring, das von einem Prämaß
erzeugte
äußere Maß, die Caratheodory-Konstruktion, Eindeutigkeit
2.2 Integration messbarer Funktionen
- Messbare Abbildungen und messbare Funktionen, einfache
Funktionen
- Approximation messbarer Funktionen durch einfache messbare
Funktionen
- Lebesguescher Integralbegriff, Rechenregeln
- Satz von Beppo-Levi über monotone Konvergenz
- Linarität des Lebesgue-Integrals
- Satz bzw. Lemma von Fatou
- Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz
- Vergleich von Riemann- und Lebesgue-Integrierbarkeit
- Definition der L^p-Räume, Hölder-Ungleichung, Vollständigkeit
2.3 Produktmaße und der Satz von Fubini
- Produkte von Sigma-Algebren
- Konstruktion von Produktmaßen unter Benutzung
des Lebesgue-Integrals, Eindeutigkeit
- Messbare Funktionen auf Produkten von Maßräumen
- Satz von Tonelli
- Satz von Fubini für Produktmaße bzw. ihre Vervollständigungen
2.4 Die Transformationsformel
- Absolute Stetigkeit von Maßen
- Lebesguescher Zerlegunssatz,
Satz von Radon-Nikodym
- Ableitung von Maßen, Ableitung des
durch einen Diffeomorphismus induzierten Maßes
auf dem euklidischen Raum
- Transformationsformel für das Lebesgue-Integral
3. Integration auf Untermannigfaltigkeiten
- Erste Fundamentalform
- Metrisches Maß auf Untermannigfaltigkeiten
des euklidischen Raums
- Untermannigfaltigkeiten mit Rand und
ihre grundlegenden Eigenschaften
- Gaußscher Divergenzsatz
- Klassischer Satz von Stoles