Differentialgeometrie I

BMS Course "Surface Theory"

Do 9-11 Uhr, RUD25, 1.013; Do 13-15 Uhr, RUD26, 0'310

English version


Vorlesender:  Klaus Mohnke
                           Büro: Adlershof, Haus 1,  Zimmer 306
                           Tel: (030) 2093 1814
                           Fax: (030) 2093 2727
                           Email:   mohnke@mathematik.hu-berlin.de
 

Übung:  Mi 15-17 Uhr, RUD 25, 1.115,  Nicolas Roy
 

Sprechstunden: Mi 9-11, RUD25, 1.306 (Büro) und nach Vereinbarung



Übungsblätter

Nicolas Roy's Homepage

Bemerkung zu Weingartenabbildung und Gaußkrümmung



Bernhard Riemann (1826-1866)

 Krümmung  ist das zentrale Untersuchungsobjekt dieser Vorlesung. Sie ist die grundlegende infinitesimale Größe in der Riemannschen Geometrie.
Letztere ist die Möglichkeit, geometrische Begriffe wie Abstand und Winkel im zu betrachtenen Raum (beispielsweise einer  Fläche im euklidischen Raum) intrinsisch zu beschreiben, d.h. ohne auf geometrische Eigenschaften eines umgebenen Raums (eben des euklidischen Raums) zurückzugreifen. Die Tatsache, dass die nach ihm benannte Krümmung einer ebensolchen Fläche intrinsisch beschrieben werden kann, war Gauß bereits klar. Die gesamte Geometrie unabhängig von einer gegebenen Einbettung (und für Räume beliebiger Dimension) zu beschreiben, ist  indes eine der großen Leistungen seines Schülers. Die Tragweite war Gauß indessen wohl bewußt: der Legende zufolge, listete Riemann dieses Thema an letzter Stelle der geforderten Liste für einen von der Kommission zu bestimmenden Habilitationsvortrag, vielleicht mit der Idee, das es unüblich sei, dass das Thema auf dieser Position ausgewählt würde, zumal auch die anderen Themen heiße Kandidaten waren. Sein Lehrer wählte zielsicher genau dieses Thema aus (Bernhard Riemann: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen). Riemann legte damit Grundlagen moderner Geometrie. Einsteins allgemeine Reltivitätstheorie fußt z.B. ganz wesentlich auf seinen Ideen.

Wir werden  ganz allgemein Krümmung von Zusammnhängen/kovarianten Ableitungen  auf Vektorbündeln einführen. Riemannsche Krümmung ist dann die Krümmung des Levi-Civita-Zusammenhanges auf dem Tangentialbündel. Wir werden sehen, wie sie auf natürliche Weise in der Variationsrechnung des Längenfunktionals auftritt. Wir werden dann Flächen im euklidischen Raum studieren, geometrisch motivierte Krümmungsgrößen einführen und diese mit dem allgemeinen Konzept vergleichen. Sie treten bei der Variation des Flächenfunktionals auf und wir werden kritische Punkte, nämlich Minimalflächen, untersuchen. Einen großen Teil der Vorlesung werden wir mit der Frage verbringen, welche geometrischen und topologischen Eigenschaften die Krümmung impliziert.


Aktuelle und behandelte Themen der Vorlesung:

               - Faserbündel
               - Vektorbündel: Kozykelbeschreibung
               - kovariante Ableitungen: Zusammenhangsform, Transformation
               - Krümmung, 2.Bianchi-Identität
               - 1. und 2.  Bianchi-Identität
               - Schnitt-, Ricci- und Skalarkrümmung
               - Jacobifelder: Differential der Exponentialabbildung, konjugierte Punkte, 2. Variation der Länge
               - Sätze von Bonnet und Myers
               - Lokale Isometrien, Raumformen, Theorem von Ambrose-Cartan-Hicks
               - Hadamard-Räume

 





Literatur:
  1. M.P.do Carmo: Riemannian Geometry, Birkäuser
  2. M.P.do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg
  3. Helga Baum: http://www.mathematik.hu-berlin.de/~baum/Skript/diffgeo1.pdf
  4. I.Agricola,Th.Friedrich: Globale Analysis, Vieweg
  5. J.-H.Eschenburg, J.Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen, Springer
  6. R.L.Bishop,R.J.Crittenden: Geometry of Manifolds, AMS

Klaus Mohnke
Mo, 6. Juni  2007, 17:00