Im Folgenden finden Sie alle Themen der Vorlesungen Lineare Algebra und Analytische Geometrie I und II zusammen mit typischen Fragen aufgelistet. Die Prüfungsfragen werden nicht notwendigerweise genau die angegebenen sein, aber wenn Sie diese Fragen sicher beantworten können dann besitzen Sie genügend Kenntnisse, um die Prüfung souverän zu meistern.

Die wichtigsten Themen und Abschnitte sind hervorgehoben. Sicheres Wissen in den fett gedruckten Themenkreisen sichert Ihnen eine gute Note. Solide Kenntnisse in den zusätzlich unterstrichenenThemen werden von jedem Studenten erwartet. Wer eine sehr gute Note erreichen möchte, muss natürlich auch Fragen aus den nicht hervorgehobenen Themenkreisen beantworten können.
Die Daumenregel beim Lernen sollte sein: Wichtig ist alles. Wenn Sie beispielsweise den Laplaceschen Entwicklungssatz verstanden haben, kennen Sie sicher auch die Eigenschaften der Determinante.

Für die Prüfung sind etwa 30 Minuten vorgesehen. Es gibt zwar keine Vorbereitungszeit, aber Sie sollten schon etwas vor Prüfungsbeginn vor Ort sein. Planen Sie vielleicht eine halbe Stunde ein, um vor der Prüfung innerlich etwas zur Ruhe kommen. Dabei können Sie sich beispielsweise die Themenliste noch einmal anschauen, um sich die großen Zusammenhänge in Erinnerung zu rufen.
Außerdem sollten Sie Ihren Vortrag noch einmal im Kopf durchgehen, damit Sie bei Prüfungsbeginn nicht vor Schreck alles vergessen oder nicht mehr wissen, womit Sie eigentlich beginnen wollten. Das alles kann wichtiges Selbstvertrauen schaffen.

Die Prüfung selbst besteht aus 3 Teilen (jeweils ca. 10 Minuten lang).
Im ersten Teil tragen Sie (ohne Notizen!!) über ein Thema aus der linearen Algebra vor, auf das Sie sich zu Hause vorbereiten können. Beachten Sie dabei, dass Sie nicht mehr als 10 Minuten dafür zur Verfügung haben, planen Sie also Ihre Zeit nicht zu knapp ein. Beim Vortragen vor anderen Personen braucht man meist mehr Zeit als wenn man nur für sich selbst spricht.
Im zweiten Teil stellen wir Ihnen ein konkretes Problem (z.B. Lösen eines linearen Gleichungssystems, Bestimmmen einer Orthonormalbasis usw.). Wir möchten dabei herausfinden, ob Sie wissen, wie man gegebene Fragen prinzipiell lösen könnte. Es geht nicht darum, Ihre Nerven mit der Invertierung expliziter 7x7-Matrizen oder der Bestimmung von Rang und Index eines gegebenen Nichtstandard-Skalarproduktes des R¹⁹ auf die Probe zu stellen! Sie müssen jedoch wissen, welche Schritte zur Problemlösung notwendig sind.
Im dritten Teil stellen wir Ihnen einige Testfragen zur Vorlesung. Diese werden prinzipiell wie in der untenstehenden Liste sein, können aber auch stärker in Details gehen. Sie können auch versuchen, bei Fragen in Gebieten, die Ihnen besonders liegen, in die Details zu gehen, die Sie besonders gut kennen.

Wir wünschen Ihnen bei der Vorbereitung und bei der Prüfung selbst viel Erfolg!!

• Lineare Gleichungssysteme
  • homogene Gleichungssytseme und Lösungsräume
  • erweiterte Koeffizientenmatrix
  • Gauß-Jordan-Algorithmus
    Was sind lineare Gleichungssysteme? Wie berechnet man deren Lösungen?
    Wie sehen die zu erwartenden Lösungsmengen aus? Was ist das Besondere homogener linearer Gleichungssysteme?
    Was ist der Rang einer Matrix? Was hat er mit der Dimension des Lösungsraumes zu tun?
    
  • Ringe, Körper, Rechnen mit komplexen Zahlen (wird erwartet, aber ist nicht eigenes Prüfungsthema)
    Beschreiben und erläutern Sie die Axiome eines Körpers. Beschreiben und erläutern Sie die Axiome eines Ringes.
    Geben Sie Beispiele.


• Polynome
  • Rechnen mit Polynomen (Addition, Multiplikation)
    Was sind Polynome? Was ist der Grad eines Polynoms? Wie addiert und multipliziert man Polynome?
  • Polynomdivision
    Führen Sie (eine konkrete) Division mit Rest zwischen Polynomen aus. Was ist der grösste gemeinsame Teiler von Polynomen?
    *Wie bestimmt man ihn?*
  • Nullstellen und Vielfachheiten
    Wie viele Nullstellen kann ein Polynom im Allgemeinen besitzen? Belegen Sie Ihre Aussage mit Beispielen.
    Was ist eine mehrfache Nullstelle?
  • Fundamentalsatz der Algebra (ohne Beweis, Anwendung auf reelle und komplexe Polynome)
    Formulieren Sie den Fundamentalsatz! Was sind die Primfaktoren komplexer Polynome? Was sind die Primfaktoren reeller Polynome?
  • Elementarsymmetrische Funktionen
    Wie kann man die Koeffizienten eines Polynoms aus seinen Nullstellen bestimmen?


• Matrizen
  • Multiplikation von Matrizen
    Wie multipliziert man Matrizen? Welche Matrizen kann man miteinander multiplizieren? Welchen Rechenregeln genügen die Multiplikation und Addition von Matrizen? Ist die Addition kommutativ? Ist die Multiplikation kommutativ? Geben Sie Beispiele für Ihre Aussagen, falls relevant.
  • Lineare Gleichungssysteme und Gaußalgorithmus mit Matrizen
    Beschreiben Sie lineare Gleichungssysteme durch Matrizen. Beschreiben Sie den Gaußalgorithmus durch die Elementarmatrizen.
  • Inverses einer Matrix, Gl(n;R)
    Was ist das Inverse einer Matrix? Wann existiert es? Wie berechnet man es?
  • Gruppen
    Erläutern Sie die Axiome von Gruppen. Was ist ein Gruppenhomomorphismus? Geben Sie Beispiele an.
    Warum ist das Rechtsinverse (einer Matrix) gleich seinem Linksinversen?
  • Permutationen, Signatur
    Beschreiben Sie Permutationen. Begründen Sie warum sich jede Permutation als Verknüpfung von Transpositonen schreiben lässt. Was ist die Signatur einer Permutation und wie kann man sie berechnen?


• Determinanten
  • Leibniz-Formel
    Was ist die Determinante einer Matrix? Geben Sie Formeln für die Determinante von 2x2 und 3x3-Matrizen an.
  • Berechnung von Determinanten
    Welche Eigenschaften hat die Determinante? Welche davon reichen aus, um sie bestimmen zu können?
  • geometrische Bedeutung (siehe "Multilineare Algebra")
    Berechnen Sie das Volumen eines Parallelotops.
  • Laplacescher Entwicklungssatz
    Geben Sie eine Formel für die Determinante mithilfe der Minoren an.
  • Cramersche Regel
    Berechnen Sie das Inverse einer Matrix mithilfe der Determinanten der Minoren.
    Welche Matrizen mit Elementen in einem kommutativen Ring sind invertierbar?


• Vektorräume
  • Definition, Beispiele
    Erläutern Sie die Axiome der Vektorräume. Was sind Untervektorräume? Wie sehen Durchschnitte von Untervektorräumen aus? Geben Sie Beispiele an.
  • Lineare Abbildungen
    Was bedeutet Linearität? Beachten auch das nachfolgende Kapitel.
  • Summen, Quotienten (Faktorräume)
    Beschreiben Sie (geometrisch) den Quotienten von Vektorräumen. Wann ist ein Vektorraum die direkte Summe von Unterräumen?
  • Lineare Unabhängigkeit
    Was ist der von einer Familie aufgespannte Untervektorraum?  Was ist lineare Unabhängigkeit? Geben Sie einfache Beispiele von linear abhängigen und linear unabhängigen Familien an.
  • Basen, Koordinaten
    Was ist eine Basis eines Vektorraumes? Geben Sie Beispiele an. Was sind die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Basis?
  • Ergänzungssatz von Steinitz
    Begründen Sie, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis besitzt. Wie verhält sich die Dimension unter direkter Summe und Quotienten?
  • Dimension
    Was ist die Dimension eines Vektorraumes? Wie verhält sie sich zwischen Vektorraum und seinen Untervektorraum?
  • Koordinatentransformation
    Wie ermittelt man die Koordinaten eines Vektors bezüglich einer Basis aus den Koordinaten bezüglich einer anderen Basis?


• Lineare Abbildungen
  • Bild und Kern
    Was sind Bild und Kern einer linearen Abbildung? Wie verhalten sich deren Dimensionen? Wie ermittelt man deren Basen?
  • Matrixdarstellung, Transformation
    Erläutern Sie die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung. Was kann man aus ihr direkt ablesen? Inwiefern hängt sie von der Wahl von Basen in Definitions- und Wertebereich ab? Leiten Sie die Formel für die Transformation her.
  • Rang und Normalform
    Erläutern Sie das Normalformproblem der Matrixdarstellung linearer Abbildungen. Was ist die Normalform?


• Jordanzerlegung von Endomorphismen
  • Normalformproblem
    Erläutern Sie das Normalformproblem der Matrixdarstellung von Endomorphismen eines Vektorraumes. Was ist der Nutzen?
    Was ist ein diagonalisierbarer Endomorphismus?
  • Eigenwerte und Eigenvektoren
    Was sind Eigenwerte und deren Eigenvektoren? Wie bestimmt man diese? Was bedeuten komplexe Eigenwerte für reelle Endomorphismen?
  • Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom
    Was ist das charakteristische Polynom eines Endomorphismus? Was ist das Minimalpolynom? Welche Beziehungen gibt es zwischen ihnen? Welche Informationen lassen sich allein aus einem annulierenden Polynom eines Endomorphismus gewinnen?
  • Jordanblöcke
    Was sind verallgemeinerte Eigenvektoren? Was sind nilpotente Endomorphismen? Wie hängen die Grösse und die Anzahl der Jordankästchen eines Endomorphismus vom charakteristischen und vom Minimalpolynom ab? Kann man diese Zahlen immer oder manchmal vollständig daraus bestimmen? Belegen Sie Ihre Antwort mit Beispielen.
  
  
  • Satz über die Jordanzerlegung
    Was ist die Normalform eines komplexen Endomorphismus?
    • 1.Zerlegungssatz und Hauptraumzerlegung
      Zeigen Sie, dass ein Endomorphismus den Vektorraum in die direkte Summe von verallgemeinerten Eigenvektoren zerlegt werden kann.
    • Jordanzerlegung komplexer Endomorphismen
      Zeigen Sie den Satz über die Jordanzerlegung.
    • Satz von Caley-Hamilton
      Warum annuliert das charakteristische Polynom den Endomorphismus?
    • Algorithmus zur Bestimmung der Jordanschen Normalform eines Endomoprhismus und der zugehörigen Basis (in einfachen Fällen, dim ≤ 3)
    • Jordanzerlegung reeller Endomorphismen
      Was ist die Normalform eines reellen Endomorphismus?


• Bilinearformen
  
  • Duale Vektorräume (Beispiele, kanonische Abbildung, duale Basen, duale Abbildungen)
    Was ist das Dual eines Vektorraums? Was ist das Dual einer linearen Abbildung? Geben Sie Beispiele an.
    Wie sehen duale Basen aus? Wie verhält sich die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung zu ihrem Dual?
  • Bilinearformen (Beispiele,Gramsche Matrix, nicht ausgeartete, symmetrische, antisymmetrische BLFen)
    Was sind Bilinearformen? Geben Sie Beispiele an. Was ist  die zugehörige lineare Abbildung? Was ist die Matrixdarstellung einer Bilinearform? Wie sieht die der zugehörigen lineare Abbildung aus? Was ist der Rang einer Bilinearform? Wann ist eine Bilinearform nicht ausgeartet, symmetrisch bzw. antisymmetrisch? Geben Sie Beipiele an.
  • Euklidische Vektorräume (Orthogonalbasen, Koordinaten, orthogonale Projektion, Gram-Schmidtscher Algorithmus)
    Was ist ein euklidischer Vektorraum? Was ist die Länge eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren. Was sind Orthogonal- und Orthonormalbasen? Geben Sie Beispiele an.
    Wie bestimmen sich die Koordinaten eines Vektors bzgl. einer Orthonormalbasis? Was ist eine orthogonale Projektion? Wie beschreibt man diese mithilfe einer Orthonormalbasis?
    Wie konstruiert man eine Orthonormalbasis? Beweisen Sie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung oder die Dreiecksungleichung.
    Beweisen Sie die Besselsche Ungleichung.
  • Orthogonale Gruppe
    Was ist eine orthogonale Abbildung? Welche Matrizen beschreiben orthogonale Abbildungen im Rⁿ? Was ist eine Orientierung eines endlich-dimensionalen reellen Vektorraums? Was ist eine spezielle orthogonale Matrix?
    Beschreiben Sie die Elemente von O(2) und O(3). Wie berechnet man Drehwinkel, Drehachse, Spiegelungsgerade bzw. Spiegelungsebene?
  • Spektralzerlegung symmetrischer Endomorphismen
    Was ist ein symmetrischer Endomorphismus? Wann ist die Matrixdarstellung eines solchen eine symmetrische Matrix? Warum ist jeder symmetrische Endomorphismus reell diagonalisierbar?
  • Hauptachsentransformation
    Zeigen Sie, dass jeder symmetrische Endomorphismus sogar eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu reellen Eigenwerten besitzt.
  • Polarzerlegung von Endomorphismen
    Zeigen Sie, dass jeder symmetrische Endomorphismus mit positiven Eigenwerten eine eindeutige Wurzel mit positiven Eigenwerten hat. Zeigen Sie dass jede reelle quadratische Matrix ein Produkt aus orthogonaler und symmetrischer Matrix mit positiven Eigenwerten ist.
  • Trägheitssatz von Sylvester
    Geben Sie eine vollständige Liste von Invarianten reeller symmetrischer Bilinearformen an.
  • Unitäre Vektorräume
    Was ist ein unitärer Vektorraum? Sie sollten die unitären Entsprechungen der Fragen unter "Euklidische Vektorräume" beantworten können, wobei "orthogonal/orthonormal" durch "unitär" zu ersetzen werden ist.
  • Spektralzerlegung selbstadjungierter Endomorphismen
    Die unitären Analoga zu "symmetrischen Endomorphismen" und "Hauptachsentransformation" sollten Sie kennen.


• Multilineare Algebra
• Multilinearformen (Ringstruktur, Beispiele, Basen)
  Was sind Multilinearformen? Wie multipliziert man sie miteinander? Was sind symmetrische bzw. alternierende Multilinearformen? Geben Sie Beispiele an.
• Äußere k-Formen (Wedge-Produkt, Basen, Volumenform, Hodge-Operator)
  Definieren Sie das Wedge-Produkt von k-Formen. Welche Eigenschaften hat es? Wie rechnet man damit in geeigneten Basen des Raumes der k-Formen?
  Was ist die Volumenform zu einer gegeben Basis? Definieren Sie die Volumenform eines orientierten endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums.
  Definieren Sie den Hodge-Operator auf k-Formen eines orientierten endlich-dimensionalen euklidischen Vektorraums.
• Gramsche Determinante und k-Volumen
  Wie definiert man das k-Volumen eines k-dimensionalen Parallelotops?


• Affine und projektive Geometrie
  • Affine Transformationen und euklidische Bewegungen
    Was sind affine Transformationen? Beschreiben Sie Bewegungen als affine Transformationen. *Beweisen Sie den Satz vom Fussball.*
    Begründen Sie, dass eine Ihnen gegebene affine Abbildung der Ebene eine Drehung ist und bestimmen Sie das Drehzentrum und den Drehwinkel.
    *Lösen Sie analoge Probleme im 3-dimensionalen Raum.*
  • Quadriken (Normalform, Quadriken der Ebene und des Raumes)
    Beschreiben Sie, was eine Quadrik ist. Geben Sie Beispiele von Quadriken in der Ebene und im Raum an. Geben Sie eine Gleichung an, die eine skizzierte Quadrik erfüllen könnte.
  • Kegelschnitte, Brennpunkte und Regelflächen
    Warum nennt man  ebene Quadriken Kegelschnitte? Was sind Brennpunkte und was ist ihre geometrische Bedeutung?
    Was sind Regelflaechen? Wie bestimmt man ihre Geradenscharen?
  • Affine Klassifikation der Quadriken (affine Hauptachsentransformation)
    Wie bestimmt man die Form einer Quadrik ohne die Eigenwerte der zugehörigen quadratischen Matrix zu bestimmen?
  • Projektiver Raum (Projektivitäten, projektive Dualität)
    Erläutern Sie, was ein projektiver Raum ist. Geben Sie Beispiele für projektive Abbildungen an.
    Was ist ein homogenes Polynom? Was ist eine projektive Quadrik?
    *Erläutern Sie ein Beispiel für eine Fragestellung der affinen/euklidischen Geometrie, bei der sich die projektive Beschreibung als nützlich erweist.*
  • Projektive Klassifikation der Quadriken
    Wie sehen die projektiven Nullstellenmengen homogener quadratischer Polynome aus?