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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 01
% 2002-04-19 (Beginn)
% 2002-04-22 (letzte Aenderung)
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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-04-22}
\newcommand{\blattnr}{1}
\newcommand{\aufgabennr}{1}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\bottomfraction}{0.5}
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}

 

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% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
L"osen Sie f"ur jedes $\alpha \in \R$ die Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \dot {\mathbf x} = \Matrix{1 & \alpha\\ \alpha & 1} \mathbf x,
  \qquad
  \map{\mathbf x} \R {\R^2}
\end{displaymath}
und skizzieren Sie die zugeh"origen Phasenportraits. \Hinweis{Es gibt vier
qualitativ unterschiedliche F"alle.} 


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Betrachten Sie die Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \dot x = f(t,x) \qquad \text{mit} \qquad
  f(x,t):= \frac{|x|}{\cos^2(t)}, \qquad
  t,x \in \R, \quad t \ne (2n+1)\pi/2, \quad n \in \Z
\end{displaymath}
\begin{enumerate}
\item
  Bestimmen und skizzieren Sie die allgemeine L"osung der
  Differentialgleichung. L"osen Sie au"serdem das Anfangswertproblem zu
  $x(\pi)=x_0$.
\item 
  Die Funktion $f$ sei durch $f(t,0):=0$, $t \in \R$ fortgesetzt.  Bestimmen
  Sie alle L"osungen des Anfangswertproblems mit der fortgesetzten Funktion zu
  $x(\pi/2)=0$.
\end{enumerate}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
L"osen Sie f"ur jedes $x_0 \in \R$ das Anfangswertproblem
\begin{displaymath}
  \dot x = 2 \sqrt{|x|}, \qquad
  x(0)=x_0.
\end{displaymath}
\Hinweis{F"ur jedes $x_0 \ne 0$ ist die L"osungsmenge durch einen Parameter
  gekennzeichnet; f"ur $x_0 = 0$ durch zwei Parameter.}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe 
\begin{enumerate}
\item 
  Berechnen Sie die Picard-Interierten $\mathbf x^{(0)}$, $\mathbf
  x^{(1)}$ und $\mathbf x^{(2)}$ f"ur das zweidimensionale Anfangswertproblem
  \begin{displaymath}
    \dot{\mathbf x} = \Matrix{1-x_1\,x_2 \\ x_1^2 + \e^t}, \qquad
    \mathbf x(0) = \Matrix{0 \\ 1}.
  \end{displaymath}
\item
  L"osen Sie das gleiche Problem bis zur zweiten Ordnung in $t$ mit einem
  Potenzreihenansatz.
\end{enumerate}
Vergleichen Sie die Resultate!

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Gegeben sei die Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \dot {\mathbf x} = \Matrix{1 & 1\\ 1 & 1} \mathbf x,
  \qquad
  \map{\mathbf x} \R {\R^2}.
\end{displaymath}
Diagonalisieren Sie die Matrix und skizzieren Sie das Phasenportrait
(Bahnkurven mit Durchlaufsinn) im "`gedrehten"' System.


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
L"osen Sie die Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \dot x = x(1-x)
\end{displaymath}
mit der Anfangsbedingung $x(t_0)=x_0$ und $t_0, x_0 \in \R$.


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Berechnen Sie die Picard-Interierten $\mathbf x^{(0)}$, $\mathbf x^{(1)}$ und
$\mathbf x^{(2)}$ f"ur das dreidimensionale Anfangswertproblem
\begin{displaymath}
  \dot{\mathbf x} = \Matrix{x_1+x_2 \\ x_3 \\ x_2}, \qquad
  \mathbf x(0) = \Matrix{1\\ 1\\ 0}.
\end{displaymath}

\Praesenz
L"osen Sie das Anfangswertproblem
\begin{displaymath}
  \dot x = x^3
\end{displaymath}
zu $x(0)=x_0 \in \R$ bis auf zweite Ordnung mit einem Potenzreihenansatz.
Vergleichen Sie sodann das Ergebnis mit der exakten L"osung.



\vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
  Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in der
  Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
  Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
  Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
  werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
  H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
  "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

  Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
  80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
  bis 16 Uhr.

 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

