RWTH Aachen Sommersemester 2002

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-04-29 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 2

Übungen zur Vorlesung ”Gewöhnliche Differentialgleichungen“

Aufgabe 5: (Bernoulli-Differentialgleichung) Führen Sie folgende Differentialgleichungen durch eine geeignete Substitution auf lineare Differentialgleichungen zurück und lösen Sie diese (mit Beschreibung der Definitionsbereiche):

a) ẏ + t y − t^{3} y^{2} = 0  b) ẏ + \frac{1}{2} t y + \frac{t}{2y} = 0,  (y ≠ 0).

Aufgabe 6: (Euler-Differentialgleichung) Bestimmen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung

t^{2} ÿ − 2t ẏ + 2y = (ln t)^{2}, (t > 0).

Aufgabe 7: (Exakte DGl, integrierender Faktor) Lösen Sie die Differentialgleichung

t y^{2} − y^{3} + (1 − t y^{2}) ẏ = 0

mit Hilfe eines integrierenden Faktors. Hinweis: Der Faktor hängt nur von einer der beiden Variablen t und y ab.

Aufgabe 8: (Riccati-DGl)

a) Sei I ⊂ ℝ ein offenes Intervall. Weiter seien g, h, k: I ⟶ ℝ stetige Funktionen. Die Riccatische Differentialgleichung

(1)  ẋ + g(t) x + h(t) x^{2} = k(t)

ist im allgemeinen nicht geschlossen lösbar. Ist jedoch eine Lösung u(t) bekannt, so kann die allgemeine Lösung im Prinzip berechnet werden. Zeigen Sie: wenn x(t) eine weitere Lösung von (1) ist, so muss die Differenz y(t) := x(t) − u(t) die Differentialgleichung

(2)  ẏ + (g(t) + 2u(t) h(t)) y + h(t) y^{2} = 0

erfüllen. Diese Differentialgleichung ist lösbar! Wie sieht die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (1) aus?

b) Geben Sie die allgemeine Lösung von

ẋ − \frac{1}{t} x + e^{−t} x^{2} = \frac{2t − 1}{t}e^{t}, t ∈ (0, ∞)

an. (Hinweis: u(t) = e^{t} ist eine Lösung.)

Aufgabe 9: Gegeben sei die lineare Differentialgleichung zweiter Ordung

ẍ + a_{1}(t) ẋ + a_{0}(t) x = 0.

Weiter seien x_{1}, x_{2} : ℝ ⟶ ℝ Lösungen dieser Gleichung. Die zugehörige Wronski-Determinante w: ℝ ⟶ ℝ sei definiert durch

w := det (\begin{matrix}x_{1} & x_{2} \\ ẋ_{1} & ẋ_{2} \end{matrix}) .

Zeigen Sie, dass die Wronski-Determinante die Differentialgleichung

ẇ + a_{1}(t) w = 0

erfüllt. Was können Sie über das Vorzeichen der Wronski-Determinante sagen?

Aufgabe 10: Die Differentialgleichung ẏ(t) = g(t; y) soll durch eine Transformation t = φ(s), y = Φ(s, x) in eine Differentialgleichung ẋ(s) = f(s; x) überführt werden. Dabei seien s, t ∈ ℝ und x, y ∈ ℝ^{n}, das Vektorfeld g sei stetig, und

(s, x) ↦ (φ(s), Φ(s, x))

sei ein Diffeomorphismus von ℝ×ℝ^{n} nach ℝ×ℝ^{n} (oder entsprechende lokale Voraussetzungen). Zeigen Sie, dass das transformierte Vektorfeld f durch

(3)  f(s, x) = (D_{x}Φ(s, x))^{−1}(φ̇(s) g(φ(s), Φ(s, x)) − D_{s}Φ(s, x))

gegeben ist, wobei D_{s}Φ den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen von Φ nach s und D_{x}Φ die n × n-Matrix der Ableitungen nach x_{i} bezeichne.

Präsenzaufgabe A: Prüfen Sie, ob die folgende Differentialgleichung exakt ist, und bestimmen Sie alle Lösungen:

\frac{y}{t^{2}} + (2y − \frac{1}{t}) ẏ = 0, (t ≠ 0).

Präsenzaufgabe B: Bestimmen Sie alle Lösungen der Bernoulli-Differentialgleichung

ẏ + y^{3} = 0.

Achten Sie bei jeder Umformung und Substitution darauf, keine Lösung zu vergessen und auf den Definitionsbereich!

Präsenzaufgabe C: Betrachten Sie den Spezialfall der Transformation aus Aufgabe 10 mit

t = φ(s) und y = Φ(x) = x .

Welche vereinfachte Transformationsformel für das Vektorfeld f ergibt sich aus Gleichung (3)? Beweisen Sie diese Transformationsformel.

Präsenzaufgabe D: Betrachten Sie den Spezialfall n = 1 in der Transformation aus Aufgabe 10, d. h. die Differentialgleichung ẏ(t) = g(t, y) soll mittels der Transformation t = φ(s), y = Φ(s, x) in die DGl ẋ(s) = f(s, x) überführt werden. Überprüfen Sie, dass (3) in

f(s, x) = \frac{1}{∂_{x}Φ(s, x)}(φ̇(s) g(φ(s), Φ(s, x)) − ∂_{s}Φ(s, x))

übergeht, und beweisen Sie diese Gleichung. Hierbei bezeichnen ∂_{x} und ∂_{s} die partiellen Ableitungen nach x und s.

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/GewDgl02.html