%----------------------------------------------------------------------
% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 02
% 2002-04-25 (Beginn)
% 2002-04-30 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{german,a4,amsfonts,eucal,amssymb}
\usepackage[leqno]{amsmath}         % Nummern in Formeln nach Links
%\usepackage{rawfonts,pictex,tabularx}
% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
\setlength{\marginparsep}{3pt}


%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
%----------------------------------------------------------------------

\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-04-29}
\newcommand{\blattnr}{2}
\newcommand{\aufgabennr}{5}    % erste Aufgabennr.

%----------------------------------------------------------------------



%----------------------------------------------------------------------
% Format"anderungen
%----------------------------------------------------------------------

\sloppy
\frenchspacing
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.5cm}
\setlength{\textwidth}{16.9cm}
\setlength{\textheight}{25.0cm}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{4pt plus 1pt minus 2pt}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\setcounter{topnumber}{1}
\setcounter{bottomnumber}{2}
\setcounter{totalnumber}{3}
\renewcommand{\topfraction}{0.5}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.5}
\renewcommand{\textfraction}{0.1}
\setlength{\textfloatsep}{0.5cm}


\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[(Bernoulli-Differentialgleichung)]

F"uhren Sie folgende Differentialgleichungen durch eine geeignete Substitution
auf lineare Differentialgleichungen zur"uck und l"osen Sie diese (mit
Beschreibung der Definitionsbereiche):
\begin{align*}
  \text{a)} \quad \dot y + t \, y -  t^3 \, y^2  &=0  & \qquad \qquad
  \text{b)} \quad  \dot y + \frac 12 \, t \, y + \frac t {2y} &= 0, \qquad
    (y \ne 0).
%  \text{a)} \quad y' + xy            &= x^3 y^2 & \qquad \qquad
%  \text{b)} \quad  y' + \frac 12 x y &= -\frac x {2y} .
\end{align*}




%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[(Euler-Differentialgleichung)]
Bestimmen Sie alle L"osungen der Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  t^2 \, \ddot y - 2 t \, \dot y + 2 y = (\ln t)^2, \qquad (t>0).
%  x^2y''-2xy'+2y=(\ln x)^2
\end{displaymath}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[(Exakte DGl, integrierender Faktor)]
L"osen Sie die Differentialgleichung
\begin{displaymath}
 t \, y^2 - y^3 + (1 - t \, y^2) \, \dot y = 0 
\end{displaymath}
mit Hilfe eines integrierenden Faktors.
% L"osen Sie die gefundene implizite L"osung nach $y$ auf.
\emph{Hinweis:} Der Faktor h"angt nur von einer der beiden Variablen $t$ und
$y$ ab.


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[(Riccati-DGl)]
\begin{enumerate}
\item Sei $I \subset \R$ ein offenes Intervall. Weiter seien $\map{g,h,k} I
  \R$ stetige Funktionen. Die \emph{Riccatische Differentialgleichung}
  \begin{equation} 
    \label{eq:riccati}
    \dot x + g(t)\, x + h(t) \, x^2 = k(t)
  \end{equation}
  ist im allgemeinen nicht geschlossen l"osbar. Ist jedoch eine L"osung $u(t)$
  bekannt, so kann die allgemeine L"osung im Prinzip berechnet werden. Zeigen
  Sie: wenn $x(t)$ eine weitere L"osung von~\eqref{eq:riccati} ist, so
muss
  die Differenz $y(t):=x(t)-u(t)$ die Differentialgleichung
  \begin{equation}
    \label{eq:loes.riccati}
    \dot y + \bigl(g(t) + 2u(t) \, h(t) \bigr) \, y + h(t) \,y^2 = 0
  \end{equation}
  erf"ullen. Diese Differentialgleichung ist l"osbar! Wie sieht die
  allgemeine L"osung der Differentialgleichung~\eqref{eq:riccati} aus?

\item
  Geben Sie die allgemeine L"osung von
  \begin{displaymath}
    \dot x - \frac 1 t \, x + e^{-t} \, x^2 = \frac{2t-1}{t}e^t, \qquad 
    t \in (0,\infty)
  \end{displaymath}
  an. (Hinweis: $u(t)=e^t$ ist eine L"osung.)
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
%
% Gegeben sei die lineare Differentialgleichung $n$-ter Ordung
% \begin{displaymath}
%   x^{(n)} + a_{n-1}(t)x^{(n-1)} + \dots + a_1(t) \dot x + a_0(t) x = 0.
% \end{displaymath}
% Weiter seien $\map{x_1, \dots x_n} \R \R$ L"osungen dieser Gleichung. Die
% zugeh"orige Wronski-Determinante $\map w \R \R$ sei definiert durch
% \begin{displaymath}
%   w := \det \Matrix{x_1       & x_2      & \dots & x_n\\
%                     \dot x_1  & \dot x_2 & \dots & \dot x_n\\
%                     \vdots    & \vdots   & \ddots& \vdots\\
%                     x_1^{(n)} & x_2^{(n)}& \dots & x_n^{(n)}}.
% \end{displaymath}
% Die Wronski-Determinante erf"ullt die Differentialgleichung
% \begin{displaymath}
%   \dot w + a_{n-1}(t) w = 0
% \end{displaymath}
% Zeigen Sie die G"ultigkeit dieser Differentialgleichung f"ur die
% Wronski-Determinante im Fall $n=2$.
%
Gegeben sei die lineare Differentialgleichung zweiter Ordung
\begin{displaymath}
  \ddot x + a_1(t) \, \dot x + a_0(t)\, x = 0.
\end{displaymath}
Weiter seien $\map{x_1, x_2} \R \R$ L"osungen dieser Gleichung. Die
zugeh"orige Wronski-Determinante $\map w \R \R$ sei definiert durch
\begin{displaymath}
  w := \det \Matrix{     x_1  &      x_2\\
                    \dot x_1  & \dot x_2}.
\end{displaymath}
Zeigen Sie, dass die Wronski-Determinante die Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \dot w + a_1 (t) \, w = 0
\end{displaymath}
erf"ullt. Was k"onnen Sie "uber das Vorzeichen der
Wronski-Determinante sagen?
%\pagebreak

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe 
Die Differentialgleichung $\dot \y (t)=\g(t;\y)$ soll durch eine
Transformation $t=\phi(s)$, $\y=\Phi(s,\x)$ in eine Differentialgleichung
$\dot \x(s) = \f(s;\x)$ "uberf"uhrt werden. Dabei seien $s,t \in \R$ und $\x,
\y \in \R^n$, das Vektorfeld $\g$ sei stetig, und
\begin{displaymath}
  (s,\x) \mapsto \bigl( \phi(s),\; \Phi(s,\x) \bigr)
\end{displaymath}
sei ein Diffeomorphismus von $\R \times \R^n$ nach $\R \times \R^n$ (oder
entsprechende lokale Voraussetzungen). Zeigen Sie, dass das transformierte
Vektorfeld $\f$ durch
\begin{equation}
\label{eq:trafo}
  \f(s,\x) = \bigl(D_\x \Phi(s,x) \bigr)^{-1} 
             \Bigl(\dot \phi(s) \, \g \bigl(\phi(s),\; \Phi(s,\x) \bigr) -
                   D_s \Phi(s,\x) \Bigr) 
\end{equation}
gegeben ist, wobei $D_s\Phi$ den Spaltenvektor der partiellen Ableitungen von
$\Phi$ nach $s$ und $D_\x \Phi$ die $n \times n$-Matrix der Ableitungen nach
$x_i$ bezeichne.

%\vspace*{\fill}
%\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

%\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Pr"ufen Sie, ob die folgende Differentialgleichung exakt ist, und bestimmen
Sie alle L"osungen:
\begin{displaymath}
   \frac y {t^2} + \bigl(2y - \frac 1 t \bigr) \, \dot y = 0, \qquad
   (t \ne 0).
%  \dot x = - \frac t {1+t^2} x + \sqrt {1+t^2}.
\end{displaymath}
\vspace*{-3ex}

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Bestimmen Sie alle L"osungen der Bernoulli-Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \dot y + y^3 = 0.
\end{displaymath}
Achten Sie bei jeder Umformung und Substitution darauf, keine L"osung zu
vergessen und auf den Definitionsbereich!

% F"uhren Sie folgende Differentialgleichung mit Hilfe eines integrierenden
% Faktors, der nur von einer der beiden Variablen $x$ und $t$ abh"angt, auf die
% Differentialgleichung aus Pr"asenzaufgabe~A zur"uck:
% \begin{displaymath}
%   x + t(2t \, x - 1) \, \dot x = 0.
% \end{displaymath}

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Betrachten Sie den Spezialfall der Transformation aus Aufgabe 10 mit
\begin{displaymath}
  t=\phi(s) \qquad \text{und}  \qquad \y = \Phi(\x) = \x\,.
\end{displaymath}
Welche vereinfachte Transformationsformel f"ur das Vektorfeld
$\f$ ergibt sich aus Gleichung \eqref{eq:trafo}? Beweisen Sie diese
Transformationsformel.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz Betrachten Sie den Spezialfall $n=1$ in der Transformation aus
Aufgabe~10, d.~h. die Differentialgleichung $\dot y(t)=g(t,y)$ soll mittels
der Transformation $t=\phi(s), y=\Phi(s,x)$ in die DGl $\dot x(s)=f(s,x)$
"uberf"uhrt werden.  "Uberpr"ufen Sie, dass~\eqref{eq:trafo} in
\begin{displaymath}
  f(s,x) = \frac 1 {\partial_x \Phi(s,x)} \Bigl(\dot \phi(s) \,
  g \bigl( \phi(s),\, \Phi(s,x) \bigr) - \partial_s \Phi(s,x)\Bigr)
\end{displaymath}
"ubergeht, und beweisen Sie diese Gleichung. Hierbei bezeichnen $\partial_x$
und $\partial_s$ die partiellen Ableitungen nach $x$ und $s$.

 \vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}

%\vfill 

%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

