RWTH Aachen Sommersemester 2002

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-05-13 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 3

Übungen zur Vorlesung ”Gewöhnliche Differentialgleichungen“

Aufgabe 11: Sei h: (0, ∞) ⟶ ℝ eine stetige Funktion. Transformieren Sie die Differentialgleichungen

a) ẏ = h(|y|)\frac{y}{|y|}  bzw. b) ẏ = h(|y|)\frac{1}{|y|} (\begin{matrix}−y_{2} \\ y_{1} \end{matrix})  mit y = (\begin{matrix}r cos φ \\ r sin φ \end{matrix}) ≠ 0

in Polarkoordinaten. Geben Sie speziell für h(r) = r^{−2} die Lösungen der beiden Differential-

gleichungen zum Anfangswert y(0) = (\begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix}) an.

Aufgabe 12: Berechnen Sie mit Hilfe der Jordanschen Normalform die Matrix e^{tA} mit

A := (\begin{matrix}2 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 2 \end{matrix}) .

Aufgabe 13:

a) Bestimmen Sie die Lösungen der beiden Anfangswertprobleme ẋ = A x, x(0) = (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) und

ẏ_{δ} = A_{δ}y_{δ}, y_{δ}(0) = (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) mit

A := (\begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix})  und A_{δ} := (\begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 2 + δ \end{matrix}) ,  δ > 0.

Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen den beiden (richtig gewählten) Eigenvektoren von A_{δ} für δ → 0 beliebig klein wird. Beweisen Sie ferner folgende Abschätzung für den ”relativen Fehler“:

\frac{|y_{δ}(t) − x(t)|}{|x(t)|} ≤ δ|t|e^{δ|t|} für alle t ∈ ℝ und δ > 0.

b) Lösen Sie ebenso das Anfangswertproblem ż_{γ} = B_{γ} z_{γ}, z_{γ}(0) = (\begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix}) mit

B_{γ} := (\begin{matrix}2 & 1 \\ γ & 2 \end{matrix})

für γ > 0. Zeigen Sie, dass z_{γ}(t) für γ → 0 lokal gleichmäßig gegen x(t) konvergiert. Was ändert sich für γ < 0 (keine Rechnung, nur qualitativ)?

(bitte wenden)

Aufgabe 14:

a) Bestimmen Sie für alle t_{0}, x_{0} ∈ ℝ das Existenzintervall der maximalen Lösung des An-

fangswertproblems

ẋ = 1 + x^{2}, x(t_{0}) = x_{0}.

Welches (minimale) Existenzintervall wird zum Vergleich für x_{0} = t_{0} = 0 durch den Satz von Picard–Lindelöf (vgl. Aufgabe C) vorhergesagt? Betrachten Sie dazu x ∈ [−b, b], bestimmen Sie die Lipschitzkonstante in diesem Intervall und wählen Sie b > 0 optimal.

b) Sei f(t) := 2t^{−3} für t ≠ 0 und f(0) := 0. Zeigen Sie, dass die (lineare!) Differentialgleichung ẋ = f(t)x unendlich viele verschiedene Lösungen hat, die alle auf ganz ℝ existieren und x(0) = 0 erfüllen, und geben Sie diese an.

Präsenzaufgabe A: Bestimmen Sie die Jordannormalform (inklusive einer Transformati-

onsmatrix) von A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ −9 & 6 \end{matrix}).

Präsenzaufgabe B: Sei f_{δ}(t) = e^{(2+δ)t}. Bestimmen Sie eine Linearkombination mit der Eigenschaft a_{δ}f_{δ}(t) + b_{δ}f_{0}(t) → te^{2t} für δ → 0 und jedes t ∈ ℝ (gleichmäßig auf Kompakta).

Präsenzaufgabe C: Betrachten Sie die Picard-Iteration (T x)(t) := ∫_{0}^{t} f(s, x(s)) ds (für die spezielle Anfangsbedingung x(0) = 0). Sei f stetig mit |f(t, x)| ≤ M für |t| ≤ a und |x| ≤ b, und sei L eine Lipschitzkonstante (bezüglich x) in diesem Bereich. Sei ferner α := min\{a, \frac{b}{M} , \frac{1}{2L}\}. Zeigen Sie: T ist eine kontrahierende Selbstabbildung der Menge der stetigen Abbildungen x von [−α, α] nach [−b, b] (bezüglich der Supremumsnorm).

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/GewDgl02.html