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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 03
% 2002-05-06 (Beginn)
% 2002-05-09 (letzte Aenderung)
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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
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\usepackage[leqno]{amsmath}         % Nummern in Formeln nach Links
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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
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%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-05-13}
\newcommand{\blattnr}{3}
\newcommand{\aufgabennr}{11}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
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\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}

 

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% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Sei $\map h {(0,\infty)} \R$ eine stetige Funktion. Transformieren Sie die
Differentialgleichungen
\begin{displaymath}
  \text{a)} \quad 
    \dot \y = h(|\y|) \frac \y {|\y|} \qquad \text{bzw.} \qquad
  \text{b)} \quad
    \dot \y = h(|\y|) \frac 1 {|\y|} \vektor {-y_2\\y_1}
    \qquad \text{mit} \qquad
    \y = \vektor{r \cos  \phi \\ r \sin \phi} \ne \mathbf 0
\end{displaymath}
in Polarkoordinaten. Geben Sie speziell f"ur $h(r)=r^{-2}$ die L"osungen der
beiden Differentialgleichungen zum Anfangswert $\y(0)=\vektor{2\\0}$ an.

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Berechnen Sie mit Hilfe der Jordanschen Normalform die Matrix $\e^{t A}$ mit
\begin{displaymath}
  A:=\Matrix{2 & 0 & -1 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 2}.
\end{displaymath}
%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die L"osungen der beiden Anfangswertprobleme $\dot \x = A
  \, \x$, $\x (0) = \vektor{0 \\ 1}$ und $\dot \y_\delta =A_\delta
  \y_\delta$, $\y_\delta(0)=\vektor{0 \\ 1}$ mit
  \begin{displaymath}
    A :=       \Matrix{2 & 1 \\ 0 & 2} \qquad \text{und} \qquad
    A_\delta := \Matrix{2 & 1 \\ 0 & 2+\delta}, \qquad \delta > 0.
  \end{displaymath}
  Zeigen Sie, dass der Winkel zwischen den beiden (richtig gew"ahlten)
  Eigenvektoren von $A_\delta$ f"ur $\delta\to 0$ beliebig klein wird.
  Beweisen Sie ferner folgende Absch"atzung f"ur den "`relativen Fehler"':
  \begin{displaymath}
    \frac{|\y_\delta(t) - \x(t)|} {|\x(t)|} \le  \delta |t| \e^{\delta |t|}
    \qquad\text{f"ur alle $t \in \R$ und $\delta>0$.}
  \end{displaymath}

\item L"osen Sie ebenso das Anfangswertproblem $\dot \z_\gamma = B_\gamma \,
  \z_\gamma$, $\z_\gamma(0)=\vektor{0 \\ 1}$ mit
  \begin{displaymath}
    B_\gamma:= \Matrix{2 & 1 \\ \gamma & 2}
  \end{displaymath}
  f"ur $\gamma > 0$.  Zeigen Sie, dass $\z_\gamma(t)$ f"ur
  $\gamma\to 0$ lokal gleichm"a"sig gegen $\x(t)$ konvergiert. Was "andert
  sich f"ur $\gamma < 0$ (keine Rechnung, nur qualitativ)?
  \end{enumerate}

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

\pagebreak

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie f"ur alle $t_0, x_0 \in \R$ das Existenzintervall der
  maximalen L"osung des Anfangswertproblems
  \begin{displaymath}
    \dot x = 1+ x^2,\qquad x(t_0) = x_0.
  \end{displaymath}
  Welches (minimale) Existenzintervall wird zum Vergleich f"ur $x_0 = t_0 = 0$
  durch den Satz von Picard--Lindel"of (vgl.~Aufgabe~C)
  vorhergesagt?  Betrachten Sie dazu $x \in [-b,b]$, bestimmen Sie die
  Lipschitzkonstante in diesem Intervall und w"ahlen Sie $b > 0$ optimal.
  
\item Sei $f(t):= 2t^{-3}$ f"ur $t \ne 0$ und $f(0):=0$. Zeigen Sie, dass die
  (lineare!) Differentialgleichung $\dot x = f(t) x$ unendlich viele
  verschiedene L"osungen hat, die alle auf ganz $\R$ existieren und $x(0)=0$
  erf"ullen, und geben Sie diese an.
\end{enumerate}

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% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


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\Praesenz
Bestimmen Sie die Jordannormalform (inklusive einer Transformationsmatrix)
von $A=\Matrix{0 & 1 \\ -9 & 6}$.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Sei $f_\delta(t) = \e^{(2+\delta)t}$. Bestimmen Sie eine Linearkombination mit
der Eigenschaft $a_\delta f_\delta(t) + b_\delta f_0(t) \to t \e^{2t}$
f"ur $\delta \to 0$ und jedes $t \in \R$ (gleichm"a"sig auf Kompakta).

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\Praesenz
Betrachten Sie die Picard-Iteration
$(Tx)(t) := \int_0^t f(s, x(s))\,ds$ (f"ur die spezielle
Anfangsbedingung $x(0) =0 $). Sei $f$ stetig mit $|f(t, x)| \le M$
f"ur $|t| \le a$ und $|x| \le b$, und sei $L$ eine Lipschitzkonstante
(bez"uglich $x$) in diesem Bereich. Sei ferner
$\alpha := \min \{a, \frac b M, \frac 1 {2L} \}$. Zeigen Sie: $T$ ist eine
kontrahierende Selbstabbildung der Menge der stetigen Abbildungen $x$ von
$[-\alpha, \alpha]$ nach $[-b, b]$ (bez"uglich der Supremumsnorm).



%----------------------------------------------------------------------
\vfill 
%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in
%   der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.

\vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}


\end{document}

