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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 04
% 2002-05-17 (Beginn)
% 2002-05-27 (letzte Aenderung)
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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
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\usepackage[leqno]{amsmath}         % Nummern in Formeln nach Links
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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
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%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-05-27}
\newcommand{\blattnr}{4}
\newcommand{\aufgabennr}{15}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
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\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
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\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
\DeclareMathOperator{\grad} {grad}

 

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% Aufgaben-Macro
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\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item Sei $\map \f {\R \times \R^n}{\R^n}$ stetig und bez"uglich des zweiten
  Argumentes stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass die L"osung des
  Anfangswertproblems
  \begin{displaymath}
    \dot \x = \f (t; \x) \cdot \sin |\x|, \quad \x(0)=\x_0
  \end{displaymath}
  f"ur alle $\x_0 \in \R^n$ auf ganz $\R$ existiert.

\item Sei $\map f \R \R$ stetig differenzierbar mit $f(0)=0$ und $f(x)>0$ f"ur
  alle $x<0$. Zeigen Sie, dass die L"osung des Anfangswertproblems $\dot
  x=f(x)$, $x(0)=x_0<0$ f"ur alle $t \ge 0$ existiert und dass $\lim_{t \to
    \infty} x(t)=0$ gilt.
\end{enumerate}

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\Aufgabe 
Man betrachte in $\R^2$ das System
\begin{displaymath}
  \left. \begin{array}{rl}
     \dot x &= y\\
     \dot y &=f(x)
  \end{array} \! \! \right\} (*)
  \quad \text{sowie die Funktion} \quad
  H(x,y):= \frac{y^2}2 + U(x)
  \quad \text{mit} \quad
  U(x):= -\int_0^x f(x') \, dx',
\end{displaymath}
wobei $\map f \R \R$ eine stetige Funktion ist.

(i) Zeigen Sie, dass $\map H {\R^2} \R$ l"angs L"osungen von $(*)$ konstant
ist.
(ii) Berechnen Sie $\grad H(x,y)$ und zeigen Sie, dass dieser Vektor senkrecht
auf dem Vektor $(y,f(x))$ steht.

(iii) Wie h"angen Niveaumengen von $H$ (d.~h.\ die Mengen
$H^{-1}(c)=\{(x,y)|H(x,y)=c\}$) mit den L"osungen von $(*)$ zusammen?
(iv) Wie h"angt $c$ mit den Anfangswerten $(x_0,y_0)=(x(0),y(0))$ zusammen?

(v) Wie kann man $U$ die m"ogliche Existenz station"arer Punkte ansehen?  (vi)
Zeigen Sie, dass f"ur alle station"aren Punkte $y=0$ gilt.  (vii) Zeigen Sie,
dass alle L"osungskurven die $x$-Achse senkrecht schneiden.  (viii) Sei
$(x_0,0)$ ein station"arer Punkt. Zeigen Sie, dass alle L"osungskurven mit
$x(t_0)=x_0$ dort eine Tangente parallel zur $x$-Achse haben.


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\Aufgabe[Varianten der Gronwallschen Ungleichung]

Seien $\map{u,v,C}{[a,b]}{[0,\infty)}$ Funktionen mit nicht-negativen reellen
Werten; $u$ und $v$ seien stetig. Es gelte die Integralungleichung
\begin{displaymath}
  v(t) \le C(t) + \int_a^t u(s) v(s) \,ds 
  \qquad\text{f"ur alle $t \in [a,b]$}.
\end{displaymath}
\begin{enumerate}
\item Ist $C$ monoton wachsend auf $[a,b]$, so folgt
  \begin{displaymath}
    v(t) \le C(t) \,\exp \left(\int_a^t u(s) \,ds \right)
    \qquad\text{f"ur alle $t \in [a,b]$}.
  \end{displaymath}

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

\pagebreak

\item
  Ist $C$ stetig auf $[a,b]$, so folgt
  \begin{displaymath}
    v(t)\le C(t) + \int_a^t C(s)u(s)\,
      \exp \left( \int_s^t u(r)\, dr \right)  ds
      \qquad\text{f"ur alle $t \in [a,b]$}.
  \end{displaymath}
  \Hinweis{Sei $\gamma(t):=\exp(-\int_a^t u(s)\, ds)$. Man finde eine
    Absch"atzung f"ur den Ausdruck $\frac{d}{dt}(\gamma(t) \int_a^t u(s)
    v(s)\, ds )$.}
\end{enumerate}


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\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item
Sei $ \map f {\R \times \R} \R$ stetig und lokal gleichm"a"sig   
Lipschitz-stetig im zweiten Argument. Es gebe Konstanten $c>0$ und $\alpha>0$,
so dass
\begin{displaymath}
  f (t;x) \ge c(1+|x|^{1+\alpha}) \qquad\text{f"ur alle $t,x\in \R$}
  \end{displaymath}
gilt. Zeigen Sie, dass dann f"ur alle $t_0,x_0 \in \R$ die L"osung
des Anfangswertproblems
\begin{displaymath}
  \dot{x} = f(t; x), \qquad x(t_0)=x_0
\end{displaymath}
nicht global existiert.

\Hinweis{Man zeige zuerst, dass es zu beliebigem $x_0\in\R$ ein $t_1\ge t_0$
  mit $x(t_1)>1$ gibt. Dann folgere man aus $f(t;\,x(t))\ge
  c\,[x(t)]^{1+\alpha}$ f"ur alle $t\ge t_1$ eine Ungleichung f"ur die
  L"osung des Anfangswertproblems.}

\item
Sei $\map \f {\R\times (\R^\nu\backslash\{\0\})} {\R^\nu}$ stetig und lokal
gleichm"a"sig Lipschitz--stetig im zweiten Argument. Es gebe Konstanten $c>0$
und $\alpha>0$, so dass
\begin{displaymath}
  \f (t; \x) \cdot \frac \x {|\x|} \ge c (1 + |\x|^{1+\alpha})
  \qquad \text{f"ur alle $t\in\R$, $\x \in \R^\nu \backslash \{\0\}$}
\end{displaymath}
gilt. Zeigen Sie, dass dann f"ur alle $t_0 \in \R$ und
$\x_0 \in \R^\nu \backslash \{\0\}$ die L"osung des Anfangswertproblems
\begin{displaymath}
  \dot \x = \f (t; \x), \qquad \x(t_0) = \x_0
\end{displaymath}
nicht global existiert.
\end{enumerate}


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% Pr"asenzaufgaben
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% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


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\Praesenz
Berechnen Sie $H$ auf Aufgabe~16 f"ur $f(x)=-x$ und skizzieren Sie die
Niveaumengen. Wo haben die Niveaulinien horizontale bzw. vertikale Tangenten?
L"osen Sie das Differentialgleichungssystem~$(*)$.

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\Praesenz
L"osen Sie die Integralgleichung
\begin{displaymath}
  w(t) = C(t) + \int_a^t u(s) w(s) \,ds 
  \qquad\text{f"ur alle $t \in [a,b]$},
\end{displaymath}
wobei $\map C {[a,b]} \R$ als stetig und im Innern als differenzierbar
angenommen werden darf. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Variante der
Gronwallschen Ungleichung aus Aufgabe~17~b). Zeigen Sie, dass die Variante der
Aufgabe~17~a) aus b) folgt, wenn man zus"atzlich annimmt, dass $C$ monoton
wachsend ist.

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\Praesenz Seien $\alpha, c>0$. L"osen Sie die Differentialgleichung $\dot x= c
\, x^{1+\alpha}$ mit der Anfangsbedingung $x(t_0)=x_0>0$ und bestimmen Sie das
maximale Existenzintervall.



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\vfill 
%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in
%   der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.

\vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}


\end{document}

