RWTH Aachen Sommersemester 2002

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-06-03

Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 5 (korrigierte Fassung)

Übungen zur Vorlesung ”Gewöhnliche Differentialgleichungen“

Aufgabe 19: Skizzieren Sie das Phasenportrait (Bilder der verschiedenen Lösungskurven in der xy-Ebene mit Richtungspfeilen) des Systems

\begin{matrix}ẋ & = y \\ ẏ & = f(x) \end{matrix}\} (∗) (f: ℝ ⟶ ℝ stetig, x, y ∈ ℝ)

mit

a) f(x) = − cos x  b) f(x) = 2x(1 − 2x^{2})  c) f(x) = −2x(1 − 2x^{2}).

Beachten Sie dabei die in Aufgabe 16 gefundenen allgemeinen Resultate!

Aufgabe 20: Sei A eine reelle (n × n)-Matrix. Weiter gebe es Konstanten a, b ∈ ℝ mit a < Re λ < b für alle Eigenwerte λ von A. Zeigen Sie, dass man eine geeignete Basis ℬ = {b_{1}, …, b_{n}} des ℝ^{n} so wählen kann, dass

a|x|_{ℬ}^{2} ≤ ⟨x, Ax⟩_{ℬ} ≤ b|x|_{ℬ}^{2}

für alle x ∈ ℝ^{n} gilt. Hierbei bezeichne

⟨x, y⟩_{ℬ} := ∑_{j=1}^{n} x_{j}y_{j} und |x|_{ℬ} := (⟨x, x⟩_{ℬ} )^{\frac{1}{2}}

das Skalarprodukt bzw. die zugehörige Norm bezüglich der Basis ℬ und (x_{j}), (y_{j}) die Koordinaten in dieser Basis (d. h. x = ∑_{j=1}^{n} x_{j}b_{j} usw.) Hinweis: Man betrachte die komplexe Jordan-Normalform von A. Zunächst untersuche man den Fall, dass die Normalform nur einen Jordan-Block mit Eigenwert λ ∈ ℂ und Hauptvektoren u_{1}, …, u_{n}, also Au_{1} = λu_{1} und Au_{j} = λu_{j}+u_{j−1} für j = 2, …, n, enthält. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann Im λ ≥ 0 angenommen werden. Für hinreichend kleines ε > 0 wähle man die Basis

ℬ := {u_{1}, εu_{2}, …, ε^{n−1}u_{n}}  falls λ ∈ ℝ bzw.
ℬ := {Re u_{1}, Im u_{1}, ε Re u_{2}, ε Im u_{2}, …, ε^{n−1} Re u_{n}, ε^{n−1} Im u_{n}}  falls Im λ > 0.

Anschließend untersuche man den allgemeinen Fall, dass die Normalform von A mehrere Jordanblöcke enthält.

Aufgabe 21: Begradigen Sie das Vektorfeld f(x) := (\begin{matrix}x_{2} \\ x_{1} \end{matrix}), x ∈ ℝ^{2} in einer geeigeneten

Umgebung V von x_{0} ∈ ℝ^{2}\{0}, d.h. geben Sie eine offene Menge U ⊂ ℝ^{2} und einen Diffeomorphismus Ψ: U ⟶ V an, so dass (DΨ(y))^{−1}f(Ψ(y)) = e_{1} für alle y ∈ U gilt. Hinweis: Bei geschickter Wahl der Koordinaten kann U als offene Halbebene und V als offene ”Viertelebene“ gewählt werden, wenn x_{0} nicht auf den Diagonalen liegt.

(bitte wenden)

Aufgabe 22:

a) Sei f: ℝ ⟶ ℝ eine C^{1}-Funktion. Zeigen Sie, dass es keine nicht-konstante Lösung x(t) der autonomen Differentialgleichung ẋ = f(x) geben kann, die periodisch ist (d. h. eine Lösung, die auf ℝ definiert ist und für die es ein T > 0 mit x(t + T) = x(t) für alle t ∈ ℝ gibt). Hinweis: Zeigen Sie, dass x(t) streng monoton in t ist. Gelten die Behauptungen auch für nicht autonome reelle Dgl. ẋ = f(t; x) bzw. für reelle Dgl. höherer Ordnung?

b) Sei f: ℝ×ℝ → ℝ eine C^{1}-Funktion. Seien x^{(1)} und x^{(2)} Lösungen des Anfangswertproblems ẋ = f(t; x) auf ihren maximalen Existenzintervallen J(x_{0}^{(1),(2)}), wobei x^{(1),(2)}(t_{0}) = x_{0}^{(1),(2)} und x_{0}^{(1)} < x_{0}^{(2)} gilt. Zeigen Sie, dass x^{(1)}(t) < x^{(2)}(t) für alle t ∈ J(x_{0}^{(1)}) ∩ J(x_{0}^{(2)}) gilt und dass die Zeitentwicklungsabbildung Φ(t_{1} ← t_{0}, ·): U ⊆ ℝ → ℝ streng monoton wachsend ist.

Präsenzaufgabe A: Sei A = (\begin{matrix}λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}) mit λ ∈ ℝ die Matrix einer linearen Abbildung in der

Standardbasis {e_{1}, e_{2}}. Wie sieht die entsprechende Matrix in der Basis ℬ = {e_{1}, ε e_{2}} aus? Schätzen Sie |⟨x, (A − λ)x⟩_{ℬ} | durch ein Vielfaches von |x|_{ℬ}^{2} ab!

Präsenzaufgabe B: Sei λ = α + iβ (mit β ≠ 0) und

A := (\begin{matrix}λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \overline{λ} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \overline{λ} \end{matrix})

die Matrix einer linearen Abbildung in der Basis

u_{1} = e_{1} + ie_{2} u_{2} = e_{3} + ie_{4} u_{3} = e_{1} − ie_{2} u_{4} = e_{3} − ie_{4}

(e_{1}, …, e_{4} sei die Standard-Basis des ℝ^{4}). Stellen Sie A in der reellen Basis ℬ = {e_{1}, e_{2}, ε e_{3}, ε e_{4}} dar!. Schätzen Sie |⟨x, (A − α)x⟩_{ℬ} | durch ein Vielfaches von |x|_{ℬ}^{2} ab!

Präsenzaufgabe C: Bezeichnungen wie in Aufgabe 22 b): Seien f(t; x) = cos t, x_{0}^{(1)} = x^{(1)}(t_{0} = 0) = 0 und x_{1}^{(2)} = x^{(2)}(t_{1} = π/2) = a ∈ ℝ. Was folgt für das Vorzeichen von x^{(1)}(t) − x^{(2)}(t), t ∈ ℝ?

Präsenzaufgabe D: Zu Aufgabe 21. Skizzieren Sie das Vektorfeld f und die Lösungskurven. Geben Sie eine ”entkoppelte“ Differentialgleichung (höherer Ordnung) für x_{1} alleine an. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung zu ẋ = f(x). Lösen Sie das AWP mit x(0) = x_{0}.

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/GewDgl02.html