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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 04
% 2002-06-01 (Beginn)
% 2002-06-11 (letzte Aenderung)
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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-06-03}
\newcommand{\blattnr}{5}
\newcommand{\aufgabennr}{19}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
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\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
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\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
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\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
\DeclareMathOperator{\grad} {grad}

 

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% Aufgaben-Macro
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\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


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\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
\textbf{\small Blatt~\blattnr\ (korrigierte Fassung)}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Skizzieren Sie das Phasenportrait (Bilder der verschiedenen L"osungskurven in
der $xy$-Ebene mit Richtungspfeilen) des Systems
\begin{displaymath}
  \left. \begin{array}{rl}
     \dot x &= y\\
     \dot y &=f(x)
  \end{array} \! \! \right\} (*)
  \qquad\qquad \text{($\map f \R \R$ stetig, $x,y \in \R$)}
\end{displaymath}
mit
\begin{displaymath}
  \quad \text{a)} \quad f(x) = -\cos x \qquad
  \quad \text{b)} \quad f(x) = 2x(1-2x^2) \qquad
  \quad \text{c)} \quad f(x) = -2x(1-2x^2).
\end{displaymath}
Beachten Sie dabei die in Aufgabe~16 gefundenen allgemeinen Resultate!

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\Aufgabe Sei $A$ eine reelle $(n\times n)$-Matrix. Weiter gebe es Konstanten
$a, b \in \R$ mit $a < \Re \lambda < b$ f"ur alle Eigenwerte $\lambda$ von
$A$.  Zeigen Sie, dass man eine geeignete Basis $\mathcal B = \{\bb_1, \dots,
\bb_n\}$ des $\R^n$ so w"ahlen kann, dass
\begin{displaymath}
  a|\x|_{\mathcal B}^2 \le 
  \langle \x , A \x \rangle_{\mathcal B} \le 
  b|\x|_{\mathcal B}^2
\end{displaymath}
f"ur alle $\x \in \R^n$ gilt. Hierbei bezeichne
\begin{displaymath}
  \langle \x , \y \rangle_{\mathcal B} :=
    \sum_{j=1}^n x_j y_j \qquad\text{und}\qquad
  |\x|_{\mathcal B} := 
    \bigl(  \langle \x , \x \rangle_{\mathcal B} \bigr)^\frac12 
\end{displaymath}
das Skalarprodukt bzw.\ die zugeh"orige Norm bez"uglich der Basis $\mathcal B$
und $(x_j)$, $(y_j)$ die Koordinaten in dieser Basis (d.~h.\ $\x=\sum_{j=1}^n
x_j \bb_j$ usw.)

\Hinweis{Man betrachte die komplexe Jordan-Normalform von $A$. Zun"achst
  untersuche man den Fall, dass die Normalform nur einen Jordan-Block mit
  Eigenwert $\lambda \in \C$ und Hauptvektoren $\uu_1,\dots, \uu_n$, also
  $A\uu_1=\lambda \uu_1$ und $A\uu_j=\lambda\uu_j + \uu_{j-1}$ f"ur $j=2,
  \dots, n$, enth"alt. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit kann $\Im \lambda
  \ge 0$ angenommen werden. F"ur hinreichend kleines $\eps>0$ w"ahle man die
  Basis
  \begin{align*}
    \mathcal B &:= \{ \uu_1, \eps \uu_2, \dots, \eps^{n-1} \uu_n \}
    & \text{falls $\lambda \in \R$ bzw.}\\
    \mathcal B &:= 
      \{ \Re \uu_1, \Im \uu_1, \eps \,\Re \uu_2, \eps \,\Im \uu_2, \dots, 
           \eps^{n-1}\, \Re \uu_n, \eps^{n-1} \, \Im \uu_n \}
    & \text{falls $\Im \lambda > 0$.}    
  \end{align*}
  Anschlie"send untersuche man den allgemeinen Fall, dass die Normalform von
  $A$ mehrere Jordanbl"ocke enth"alt.}

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\Aufgabe Begradigen Sie das Vektorfeld $\f(\x) := \Matrix{x_2 \\ x_1}$, $\x
\in \R^2$ in einer geeigeneten Umgebung $V$ von $\x_0 \in \R^2 \backslash
\{0\}$, d.h. geben Sie eine offene Menge $U \subset \R^2$ und einen
Diffeomorphismus $\map \Psi U V$ an, so dass $\big(D \Psi(\y)\big)^{-1}
\f(\Psi(\y))=\ee_1$ f"ur alle $\y \in U$ gilt.  \Hinweis{Bei geschickter Wahl
  der Koordinaten kann $U$ als offene Halbebene und $V$ als offene
  "`Viertelebene"' gew"ahlt werden, wenn $\x_0$ nicht auf den Diagonalen
  liegt.}


\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

\pagebreak

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\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item Sei $\map f \R \R$ eine $C^1$-Funktion. Zeigen Sie, dass es keine
  nicht-konstante L"osung $x(t)$ der autonomen Differentialgleichung $\dot x =
  f(x)$ geben kann, die periodisch ist (d.~h. eine L"osung, die auf $\R$
  definiert ist und f"ur die es ein $T>0$ mit $x(t+T)=x(t)$ f"ur alle $t \in
  \R$ gibt). \Hinweis{Zeigen Sie, dass $x(t)$ streng monoton in $t$ ist.}
  Gelten die Behauptungen auch f"ur nicht autonome reelle Dgl.\
$\,\dot{x}=f(t;x)$ bzw.\ f"ur reelle Dgl.\ h"oherer Ordnung?

\item
% Gegeben sei eine differenzierbare Funktion $\map v {[1,\infty)}{[0,\infty)}$,
% die die Differentialungleichung
% \begin{displaymath}
%   \dot v(t) \le \frac 1 {t^2} \, v(t)
% \end{displaymath}
% f"ur alle $t\ge 1$ erf"ullt. Zeigen Sie, dass $v$ beschr"ankt ist, d.~h.,
% dass
% es eine Konstante $C>0$ mit $v(t) \le C$ f"ur alle $t \ge 1$
% gibt. \Hinweis{Lemma von Gronwall!}
%
  Sei $f\colon \R \times \R \to \R\,$ eine $C^1$-Funktion. Seien $\,x^{(1)}\,$
  und $\,x^{(2)}\,$ L"osungen des Anfangswertproblems $\,\dot{x}=f(t;x)$ auf
  ihren maximalen Existenzintervallen $J(x^{(1),(2)}_0)$, wobei
  $\,x^{(1),(2)}(t_0) = x^{(1),(2)}_0\,$ und $\,x^{(1)}_0 < x^{(2)}_0$ gilt.
  Zeigen Sie, dass $\,x^{(1)}(t) < x^{(2)}(t)$ f"ur alle $t\in
  J(x^{(1)}_0)\cap J(x^{(2)}_0)$ gilt und dass die Zeitentwicklungsabbildung
  $\,\Phi(t_1\leftarrow t_0, \cdot)\colon U\subseteq\R \to \R\,$ streng
  monoton wachsend ist.
%
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz Sei $A=\Matrix{\lambda & 1 \\ 0 & \lambda}$ mit $\lambda \in \R$ die
Matrix einer linearen Abbildung in der Standardbasis $\{\ee_1, \ee_2\}$. Wie
sieht die entsprechende Matrix in der Basis $\mathcal B = \{\ee_1, \eps \,
\ee_2\}$ aus? Sch"atzen Sie $|\langle \x, (A-\lambda) \x \rangle_{\mathcal
  B}|$ durch ein Vielfaches von $|\x|^2_{\mathcal B}$ ab!

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Sei $\lambda = \alpha + \ii \beta$ (mit $\beta \ne 0$) und
\begin{displaymath}
  A := \Matrix {\lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 & 0\\
                0 & 0 & \overline \lambda & 1\\0 & 0 & 0 & \overline \lambda}
\end{displaymath}
die Matrix einer linearen Abbildung in der Basis
\begin{displaymath}
  \uu_1 = \ee_1 + \ii \ee_2 \quad
  \uu_2 = \ee_3 + \ii \ee_4 \quad
  \uu_3 = \ee_1 - \ii \ee_2 \quad
  \uu_4 = \ee_3 - \ii \ee_4 \quad
\end{displaymath}
($\ee_1, \dots, \ee_4$ sei die Standard-Basis des $\R^4$). Stellen Sie $A$ in
der reellen Basis $\mathcal B = \{\ee_1, \ee_2, \eps \,\ee_3, \eps \, \ee_4\}$
dar!. Sch"atzen Sie $|\langle \x, (A-\alpha) \x \rangle_{\mathcal B}|$ durch
ein Vielfaches von $|\x|^2_{\mathcal B}$ ab!

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz 
% F"uhren Sie die Begradigung des Vektorfeldes auf Aufgabe~21 f"ur den Fall
% $\x_0=\Matrix{0 \\ 1}$ aus!
%
Bezeichnungen wie in Aufgabe 22~b):\\
Seien $f(t;x) = \cos t
,\;x^{(1)}_0 = x^{(1)}(t_0=0) =0$ und $x^{(2)}_1 = x^{(2)}(t_1=\pi/2)
=a\in\R\,$. Was folgt f"ur das Vorzeichen von $\,x^{(1)}(t) -
x^{(2)}(t),\;t\in\R\,$?\\

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Zu Aufgabe 21.\\
Skizzieren Sie das Vektorfeld $\f\,$ und die L"osungskurven. Geben Sie
eine "`entkoppelte"' Differentialgleichung (h"oherer Ordnung) f"ur $x_1$ 
alleine an. Bestimmen Sie die allgemeine L"osung zu $\dot \x = \f(\x)$.
L"osen Sie das AWP mit $\x(0)=\x_0$.

%----------------------------------------------------------------------
\vfill 
%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in
%   der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.

\vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}
\end{document}
