RWTH Aachen Sommersemester 2002

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-06-17 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 6

Übungen zur Vorlesung ”Gewöhnliche Differentialgleichungen“

Aufgabe 23:

a) Skizzieren Sie das Phasenportrait für ẋ = Ax mit A = (\begin{matrix}α & 1 \\ 0 & α \end{matrix}), α ∈ ℝ \ \{0\}.

b) Finden Sie eine parameterfreie Darstellung der Lösungen von ẋ = Bx mit B = (\begin{matrix}α & 0 \\ 0 & β \end{matrix}),

α, β ∈ ℝ \ {0} (d. h. eine Beziehung zwischen den Komponenten x_{1} und x_{2} der Lösung x). Welche Kurven ergeben sich speziell für β = α, β = 3α bzw. β = −α? Skizzieren Sie die Phasenraumbilder für diese Fälle und geben Sie auch jeweils die Orientierung der Kurven an. (Fallunterscheidung!)

c) Bestimmen Sie eine parameterfreie Darstellung in Polarkoordinaten der Lösungen von

ẋ = Cx mit C = (\begin{matrix}κ & ω \\ −ω & κ \end{matrix}), κ, ω ∈ ℝ, ω ≠ 0. Zeichnen Sie auch hier die Phasenraum-

bilder mit Orientierungen.

Aufgabe 24: Skizzieren Sie die Phasenportraits von

a) ẋ = Ax mit A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix}) b) ẋ = Bx mit B = (\begin{matrix}−1 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix}) .

Aufgabe 25: Sei A := (\begin{matrix}κ & ω & 0 \\ −ω & κ & 0 \\ 0 & 0 & λ \end{matrix}) mit κ, ω, λ ∈ ℝ, ω > 0.

a) Seien außerdem κ, λ < 0 mit λ = 2κ. Zeigen Sie, dass die Lösung x(t) des Anfangswertproblems

ẋ = Ax, x(0) = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})^{T} mit (ξ_{1}, ξ_{2}) ≠ 0 und ξ_{3} ≠ 0

die Gleichung

x_{3}(t) = \frac{ξ_{3}}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}} (x_{1}(t)^{2} + x_{2}(t)^{2})

erfüllt. Zeigen Sie weiter, dass die Lösung eine auf den Nullpunkt zulaufende Spirale auf einem Paraboloid beschreibt.

b) Wie sehen die orientierten Lösungen für κ < 0, λ = −κ aus?

c) Wie sehen die orientierten Lösungen für κ > 0, λ = −3κ aus?

(bitte wenden)

Aufgabe 26: Seien g, h ∈ C^{1}(ℝ, ℝ) mit g(x) ≥ 0, h(0) = 0, h(x) > 0 für x > 0 sowie h(x) < 0 für x < 0. Zeigen Sie mit Hilfe einer Lyapunov-Funktion, dass das zur DGl

ẍ + g(x) ẋ + h(x) = 0

gehörende System erster Ordnung im Nullpunkt eine stabile Gleichgewichtslage besitzt. Hinweis: Für g = 0 ist das zugehörige System ein Hamiltonsystem.

Präsenzaufgabe A: Lösen Sie die DGl aus Aufgabe 23 b) für den Fall α = 1 und β = 3. Finden Sie eine parameterfreie Darstellung dieser Lösungen. Lösen Sie die DGl aus Aufgabe 23 c) für den Fall κ = 1 und ω = 1. Finden Sie eine parameterfreie Darstellung dieser Lösungen (in Polarkoordinaten).

Präsenzaufgabe B: Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen A und B aus Aufgabe 24. Finden Sie eine reelle Basis {b_{1}, b_{2}} des ℝ^{2} mit B b_{1} = −b_{2} und B b_{2} = b_{1}. Wie sieht die Matrix B in dieser Basis aus?

Präsenzaufgabe C: Lösen Sie das in Aufgabe 25 angegebene Anfangswertproblem ẋ = Ax, x(0) = (ξ_{1}, ξ_{2}, ξ_{3})^{T} (indem Sie z. B. die Matrix e^{tA} berechnen oder das DGl-System durch Entkoppeln lösen).

Präsenzaufgabe D: (zu Aufgabe 26) Bestimmen Sie das zur Differentialgleichung

ẍ + g ẋ + x = 0

gehörende DGl-System erster Ordnung, g ≥ 0. Geben Sie eine Hamilton-Funktion H für den Fall g = 0 an. Zeigen Sie schließlich, dass H eine Lyapunov-Funktion für das DGl-System ist.

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/GewDgl02.html