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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 06
% 2002-06-13 (Beginn)
% 2002-06-14 (letzte Aenderung)
%--------------------------------------------------------------------


\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{german,a4,amsfonts,eucal,amssymb}
\usepackage[leqno]{amsmath}         % Nummern in Formeln nach Links

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.


%\usepackage{rawfonts,pictex,tabularx}
% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
\setlength{\marginparsep}{3pt}


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% "Anderungen am Blatt
%----------------------------------------------------------------------

\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-06-17}
\newcommand{\blattnr}{6}
\newcommand{\aufgabennr}{23}    % erste Aufgabennr.


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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
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\setlength{\textwidth}{16.9cm}
\setlength{\textheight}{25.0cm}
\pagestyle{empty}
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
\DeclareMathOperator{\grad} {grad}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
\textbf{\small Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item Skizzieren Sie das Phasenportrait f"ur $\dot \x = A \x$ mit
  $A=\Matrix{\alpha & 1 \\ 0 & \alpha}$, $\alpha \in \R \setminus \{0\}$.
  
\item Finden Sie eine parameterfreie Darstellung der L"osungen von $\dot \x =
  B \x$ mit $B=\Matrix{\alpha & 0 \\ 0 & \beta}$, $\alpha, \beta \in \R
  \setminus \{0\}$ (d.~h.~eine Beziehung zwischen den Komponenten $x_1$ und
  $x_2$ der L"osung $\x$). Welche Kurven ergeben sich speziell f"ur
  $\beta=\alpha$, $\beta = 3\alpha$ bzw.\ $\beta=-\alpha$? Skizzieren Sie die
  Phasenraumbilder f"ur diese F"alle und geben Sie auch jeweils die
  Orientierung der Kurven an. (Fallunterscheidung!)
  
\item Bestimmen Sie eine parameterfreie Darstellung in Polarkoordinaten der
  L"osungen von $\dot \x = C \x$ mit $C=\Matrix{\kappa & \omega \\ -\omega
    & \kappa}$, $\kappa, \omega \in \R$, $\omega \ne 0$. Zeichnen Sie auch hier
  die Phasenraumbilder mit Orientierungen.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Skizzieren Sie die Phasenportraits von
\begin{displaymath}
  \text{a)} \quad 
    \dot \x = A \x \quad \text{mit} \quad
    A = \Matrix{1 & 1 \\ 0 & -1} \qquad
  \text{b)} \quad
    \dot \x = B \x \quad \text{mit} \quad
    B = \Matrix{-1 & 2 \\ -1 & 1}.
\end{displaymath}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Sei $A:= \Matrix{\kappa & \omega & 0 \\ -\omega & \kappa & 0 \\ 0 & 0
  & \lambda}$ mit $\kappa, \omega, \lambda \in \R$, $\omega>0$.
\begin{enumerate}
\item Seien au"serdem $\kappa, \lambda <0 $ mit $\lambda = 2\kappa$. Zeigen
  Sie, dass die L"osung $\x(t)$ des Anfangswertproblems
  \begin{displaymath}
    \dot \x = A \x, \quad \x(0)=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)^\mathrm T 
    \quad \text{mit} \quad
    (\xi_1,\xi_2) \ne 0 \quad \text{und} \quad \xi_3 \ne 0
  \end{displaymath}
  die Gleichung
  \begin{displaymath}
    x_3(t)=\frac{\xi_3}{\xi_1^2 + \xi_2^2} \bigl(x_1(t)^2 + x_2(t)^2\bigr)
  \end{displaymath}
  erf"ullt. Zeigen Sie weiter, dass die L"osung eine auf den Nullpunkt
  zulaufende Spirale auf einem Paraboloid beschreibt.

\item
  Wie sehen die orientierten L"osungen f"ur $\kappa < 0$, $\lambda =
  -\kappa$ aus?

\item
  Wie sehen die orientierten L"osungen f"ur $\kappa > 0$, $\lambda =
  -3\kappa$ aus?
    
\end{enumerate}

 \hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

 \pagebreak

%----------------------------------------------------------------------
 \Aufgabe Seien $g,h \in C^1(\R,\R)$ mit $g(x) \ge 0$, $h(0) = 0$, $h(x) > 0$
 f"ur $x>0$ sowie $h(x)<0$ f"ur $x < 0$. Zeigen Sie mit Hilfe einer
 Lyapunov-Funktion, dass das zur DGl
\begin{displaymath}
  \ddot x + g(x) \, \dot x + h(x) = 0
\end{displaymath}
geh"orende System erster Ordnung im Nullpunkt eine stabile Gleichgewichtslage
besitzt. \Hinweis{ F"ur $g = 0$ ist das zugeh"orige System ein Hamiltonsystem.}



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% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


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\Praesenz 

L"osen Sie die DGl aus Aufgabe~23~b) f"ur den Fall $\alpha=1$ und $\beta=3$.
Finden Sie eine parameterfreie Darstellung dieser L"osungen.  L"osen Sie die
DGl aus Aufgabe~23~c) f"ur den Fall $\kappa=1$ und $\omega=1$. Finden Sie
eine parameterfreie Darstellung dieser L"osungen (in Polarkoordinaten).

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz 

Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrizen $A$ und $B$ aus
Aufgabe~24. Finden Sie eine reelle Basis $\{\bb_1,\bb_2\}$ des $\R^2$ mit $B
\, \bb_1=-\bb_2$ und $B \, \bb_2 = \bb_1$. Wie sieht die Matrix $B$ in dieser
Basis aus?

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz 

L"osen Sie das in Aufgabe~25 angegebene Anfangswertproblem $\dot \x = A\x$,
$\x(0)=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)^\mathrm T$ (indem Sie z.~B. die Matrix $\e^{tA}$
berechnen oder das DGl-System durch Entkoppeln l"osen).

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz (zu Aufgabe~26)

Bestimmen Sie das zur Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \ddot x + g \, \dot x + x = 0
\end{displaymath}
geh"orende DGl-System erster Ordnung, $g \ge 0$. Geben Sie eine
Hamilton-Funktion $H$ f"ur den Fall $g=0$ an. Zeigen Sie schlie"slich, dass
$H$ eine Lyapunov-Funktion f"ur das DGl-System ist.

\begin{center}
  \includegraphics[scale=1] {/home/post/Mathematik/Uebungen/dgl/im-unendlichen.ps}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\vfill 
%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in
%   der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.

\vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}
\end{document}


