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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 07
% 2002-06-19 (Beginn)
% 2002-06-21 (letzte Aenderung)
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\usepackage[leqno]{amsmath}         % Nummern in Formeln nach Links

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
\setlength{\marginparsep}{3pt}


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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-06-24}
\newcommand{\blattnr}{7}
\newcommand{\aufgabennr}{27}    % erste Aufgabennr.


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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
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\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\const} {const}
\DeclareMathOperator{\Hess} {Hess}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
\textbf{\small Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Sei $D \subset \R^\nu$ eine offene Menge mit $\0 \in D$. Weiter sei $W \in
C^2(D,\R)$ mit $W(\0)=0$, $\nabla W(\0)=\0$ und die Hesse-Matrix $\Hess
W(\0)$ sei positiv definit. Schlie"slich sei $\kappa>0$. Zeigen Sie, dass
\begin{displaymath}
  V(\x,\p) = \frac12 (\p + \gamma \x)^2 + W(\x)
\end{displaymath}
f"ur ein geschickt gew"ahltes $\gamma \in \R$ eine Lyapunov-Funktion f"ur die
Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \Matrix{\dot \x \\ \dot \p} = 
  \Matrix{\p \\ -\nabla W(\x) -\kappa \, \p}, \qquad \x \in D, \p \in \R^\nu
\end{displaymath}
in einer geeigneten Umgebung von $\0 \in \R^{2\nu}$ ist, die zus"atzlich $\dot
V(\x,\p)<0$ f"ur alle $(\x,\p) \ne (\0,\0)$ erf"ullt. \Hinweis{Es gilt $\x
  \cdot \nabla W(\x) = \int_0^1 \x \cdot (\Hess  W(t\x) \x) dt$.
  (Beweis?)}

\emph{Bemerkung:} Die physikalische Bedeutung dieser Aussage ist, dass
Minimalstellen der potentiellen Energie $W(\x)$ bei Anwesenheit von linearer
Reibung $\kappa \, \p$ (proportional zur Geschwindigkeit) asymptotische
Gleichgewichtslagen sind. F"ur $\gamma=\kappa=0$ ist $V$ eine
Hamilton-Funktion.

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Seien $\alpha, \beta, \gamma, \delta>0$. Die \emph{Volterra-Lotka-Gleichungen}
\begin{displaymath}
  \begin{array}{rcl}
     \dot x & = & (\alpha - \beta y)x \\
     \dot y & = & (\delta x - \gamma) y
  \end{array},
  \qquad x,y \in (0, \infty)
\end{displaymath}
beschreiben den zeitlichen Verlauf eines "okologischen Systems von Raubtieren
(deren Anzahl durch $y(t)$ bezeichnet werde) und ihrer Beute (mit $x(t)$
bezeichnet). Finden Sie eine Lyapunovfunktion auf $(0,\infty) \times
(0,\infty)$ und zeigen Sie, dass $(\overline x, \overline y):=(\gamma/\delta,
\alpha/\beta)$ eine stabile Gleichgewichtslage ist.

\Hinweis{Betrachten Sie die partielle Differentialgleichung (PDgl)
  \begin{displaymath}
    \dot V(x,y) = \nabla V (x,y) \cdot \f(x,y) = 0,
  \end{displaymath}
  wobei $\f(x,y)$ das Vektorfeld zu dem oben angegebenen DGl-Systems ist.
  L"osen Sie die PDgl mit Hilfe des Separationsansatzes $V(x,y)=F(x)G(y)$,
  indem Sie sie in die Form $\Phi(x)=\Psi(y)=\const$ bringen und die so
  entstehenden gew"ohnlichen DGln l"osen. Beachten Sie, dass $V$ ein Minimum
  in der Gleichgewichtslage haben soll.}

\enlargethispage*{1cm}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe 
Sei $G \subset \R^{\nu \times \nu}$ die Menge der $\nu \times \nu$-Matrizen
mit $\nu$ paarweise verschiedenen Eigenwerten $\lambda_1, \dots, \lambda_\nu$
und $\Re \lambda_k \ne 0$ f"ur alle $k = 1, \dots, \nu$. Zeigen Sie, dass $G$
offen und dicht in $\R^{\nu \times \nu}$ ist. ($\R^{\nu \times \nu}$ trage die
von irgendeiner Norm erzeugte Topologie; da alle Normen "aquivalent sind, ist
die Topologie eindeutig.)

\Hinweis{F"ur den Beweis der Offenheit nutze man (ohne Beweis) die Tatsache
  aus, dass die Nullstellen eines Polynoms stetig von seinen Koeffizienten
  abh"angen. F"ur den Beweis der Dichtheit gehe man wie folgt vor: Sei $J$ die
  reelle Jordan-Normalform von $A \in \R^{\nu \times \nu}$. Approximieren Sie
  $J$ durch $J_\delta:=J + \mathrm{diag}\{\delta, 2\delta, \dots, \nu
  \delta\}$.}

\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

\pagebreak

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Bestimmen Sie f"ur die folgenden Matrizen, ob (bzw.\ f"ur welche
Parameterwerte $\alpha, \beta, \gamma \in \R$) sie hyperbolisch sind, und
geben Sie gegebenenfalls die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten an.
Finden Sie f"ur $A_1$ mit $|\alpha|>1$ sowie $A_2$ mit $|\beta|<3$ auch die
Matrixdarstellung des Projektors $P$ auf $E^s$. \Hinweis{Eigenwerte und
  Eigenvektoren bzw.\ Hauptvektoren bestimmter Matrizen wurden bereits in
  Aufgabe~1 und Aufgabe~12 berechnet.}
\begin{displaymath}
  A_1=\Matrix{1 & \alpha \\ \alpha & 1}, \qquad
  A_2=\Matrix{\beta & 9 \\ 1 & \beta}, \qquad
  A_3=\Matrix{\beta & 0 & 1 \\ 0 & \gamma & 0 \\ -1 & 0 & \beta},
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
   B_1=\Matrix{-3 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & -5}, \qquad
   C= \Matrix{2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &
   2}
\end{displaymath}

%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz (zu Aufgabe 28)
\begin{enumerate}
\item F"uhren Sie die Separation f"ur die L"osungen $u \in C^2(\R^2)$ der
  partiellen Differentialgleichung $\Delta U := U_{xx} + U_{yy} = 0$ durch:
  Der Laplace-Operator $\Delta$ hat in Polarkoordinaten $(x,y)=(r \cos \phi, r
  \sin \phi)$ die Darstellung $\Delta V = V_{rr} + \frac 1 r V_r + \frac 1
  {r^2} V_{\phi \phi}$, wobei $V(r,\phi)=U(r \cos \phi, r \sin \phi)$ die
  transformierte Funktion ist.  \Hinweis{Verwenden Sie den Separationsansatz
    $V(r,\phi)=F(r)G(\phi)$.}
  
\item Zeigen Sie, dass $U:=\set{(x,y)}{x>0, y>0}$ eine invariante
  Mannigfaltigkeit f"ur das DGl-System aus Aufgabe 28 ist, d.~h. dass f"ur
  L"osungen mit $(x(0),y(0)) \in U$ auch $(x(t),y(t)) \in U$ gilt, solange die
  L"osung zur Zeit $t$ noch existiert.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz (zu Aufgabe 29)

Zeigen Sie, dass die Menge $G$ der $2 \times 2$-Matrizen mit verschiedenen
Eigenwerten offen und dicht in der Menge $\R^{2 \times 2}$ aller $2 \times
2$-Matrizen ist.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz (zu Aufgabe~30)

Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren $\bb_1, \bb_2$ der Matrix $A_2$ mit
$\beta=-1$. Wie sieht die Matrix $A_2$ in der Basis $\mathcal
B=\{\bb_1,\bb_2\}$ aus? Wie sieht der Projektor auf den ersten bzw.\ zweiten
Eigenvektor in dieser Basis aus? Geben Sie die Projektoren auch in der
urspr"unglichen Basis an.
Geben Sie schlie"slich die stabile sowie instabile Mannigfaltigkeit $E^s$ bzw.
$E^u$ sowie den Projektor auf $E^s$ an.



%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz (zu Aufgabe~27)

Seien $c,\kappa>0$ und $W(x):=\frac c 2 x^2$. Zeigen Sie, dass
\begin{displaymath}
  V(x,p):= \frac12 (p + \gamma x)^2 + W(x)
\end{displaymath}
f"ur ein geschickt gew"ahltes $\gamma \in \R$ eine Lyapunov-Funktion f"ur die
Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \Matrix{\dot x \\ \dot p} = \Matrix{p \\ -cx - \kappa p}, \qquad x,p \in \R
\end{displaymath}
in einer geeigneten Umgebung von $\0 \in \R^2$ ist, die au"serdem $\dot
V(x,p)<0$ f"ur $(x,p) \ne (0,0)$ erf"ullt.


% \begin{center}
%   \includegraphics[scale=1]
%   {/home/post/Mathematik/Uebungen/dgl/im-unendlichen.ps}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\vfill 
%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in
%   der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.

\vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}
\end{document}


