RWTH Aachen Sommersemester 2002

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-07-01 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 8

Übungen zur Vorlesung ”Gewöhnliche Differentialgleichungen“

Aufgabe 31: Sei D ⊂ ℝ^{ν} offen und beschränkt, x_{0} ∈ D und

X = {f ∈ C^{1}(D, ℝ^{ν}) | ∥f∥_{C^{1}} < ∞ und f(x_{0}) = 0}

der Banachraum der Vektorfelder in D, die in x_{0} eine Gleichgewichtslage haben. Dabei bezeichnet ∥ · ∥_{C^{1}} die Norm

∥f∥_{C^{1}} = sup_{x∈D} (|f(x)| + ∥Df(x)∥).

Sei Y ⊂ X die Teilmenge der Vektorfelder, die in x_{0} eine hyperbolische Gleichgewichtslage haben (d. h. Df(x_{0}) hat keinen Eigenwert mit Realteil 0). Zeigen Sie, dass Y offen und dicht in X ist. Hinweis: Für die Offenheit können Sie wie in Aufgabe 29 vorgehen, für die Dichtheit können Sie direkt das Ergebnis aus Aufgabe 29 verwenden.

Aufgabe 32: Beweis der lokalen Variante des Satzes von Hartman-Grobman Sei f ∈ C^{1}(D, ℝ^{ν}) für D ⊂ ℝ^{ν} offen, 0 ∈ D, f(0) = 0 und A := (Df)(0). Sei ρ > 0 so klein, dass B_{ρ}(0) := {x ∈ ℝ^{ν} | |x| < ρ} ⊂ D gilt. Schließlich sei

g(x) := \begin{cases}f(x) − Ax & für |x| ≤ ρ, \\ f(ρ \frac{x}{|x|}) − Aρ \frac{x}{|x|} & für |x| > ρ. \end{cases}

Zeigen Sie: (i) Die Funktion g ist global Lipschitzstetig. (ii) Die Lipschitz-Konstante L = L(ρ) kann beliebig klein gewählt werden (für geeignet kleines ρ > 0). (iii) g ist beschränkt. (iv) Das Anfangswertproblem

ẋ = Ax + g(x), x(0) = x_{0}

ist für jedes x_{0} ∈ ℝ^{ν} global eindeutig lösbar. (v) Für x_{0} ∈ B_{ρ}(0) seien t_{±} = t_{±}(x_{0}) so gewählt, dass x(t) ∈ B_{ρ}(0) für alle t_{−} < t < t_{+}, dann gilt für diese Zeiten auch ẋ = f(x).

Aufgabe 33: Beispiel zum Satz von Hartman-Grobman Gegeben sei die Differentialgleichung ẋ = f(x) mit

f(x) := \begin{cases}0 & für x = 0, \\ −x + \frac{−1}{ln |x|} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) x & für 0 < |x| < 1. \end{cases}

a) Zeigen Sie, dass f : B_{1}(0) ⟶ ℝ^{2} eine C^{1}-Funktion mit Ableitung A := Df(0) = −𝟙 ist.

b) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung, indem Sie Polarkoordinaten einführen (vgl. Aufgabe 11). (bitte wenden) c) Zeigen Sie, dass

h(x) := \begin{cases}0 & für x = 0, \\ D(φ(r)) x & für 0 < r = |x| \end{cases}

mit φ(r) = − ln ln \frac{1}{r} ein Homöomorphismus ist, der den Fluss Φ_{t}(x) mit dem linearen Fluss Ψ_{t}(y) := e^{At}y = e^{−t}y konjugiert, d. h., dass h(Φ_{t}(x)) = e^{−t}h(x) gilt. Hierbei ist

D(φ) := (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix})

die Drehmatrix mit Winkel φ ∈ ℝ. Hinweis: Sie können sich Rechnungen ersparen, indem Sie D(φ_{1} + φ_{2}) = D(φ_{1})D(φ_{2}) sowie |D(φ_{1}) x| = |x| für alle φ_{1}, φ_{2} ∈ ℝ und x ∈ ℝ^{2} ausnutzen!

Aufgabe 34: Eine Verbesserung der Volterra-Lotka-Gleichungen, die zusätzlich das Konkurrenzverhalten von Räubern bzw. Beutetieren untereinander beschreibt, ist durch das folgende Differentialgleichungssystem gegeben:

\begin{aligned}ẋ & = & (1 − y)x − μx^{2} \\ ẏ & = & (x − 1)y − νy^{2} \end{aligned} , x, y ∈ (0, ∞)

(vgl. Aufgabe 28 mit α = β = γ = δ = 1 und μ = ν = 0). Berechnen Sie die Gleichgewichtslage für 0 < μ < 1 und ν > 0, und zeigen Sie mit Hilfe der Linearisierung, dass diese asymptotischstabil ist.

Präsenzaufgabe A: (zu Aufgabe 34)

a) Sei A ∈ ℝ^{2×2} mit spur A < 0 und det A > 0. Zeigen Sie, dass 0 eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslage der Differentialgleichung ẋ = Ax ist.

b) Zeigen Sie, dass die Eigenschaft einer Gleichgewichtslage, asymptotisch stabil zu sein, unter topologischer Konjugation erhalten bleibt.

Präsenzaufgabe B: (zu Aufgabe 32) Betrachten Sie den Fall ν = 1. In diesem Fall ist Df(0) = f′(0) = a ∈ ℝ. Machen Sie eine Skizze der Funktion g. Zeigen Sie die Behauptungen (i) bis (v) für diesen Fall.

Präsenzaufgabe C: (zu Aufgabe 33) Zeigen Sie, dass die Abbildung h: ℝ^{ν} ⟶ ℝ^{ν} in 0 nicht stetig differenzierbar ist.

Präsenzaufgabe D: (zu Aufgabe 34) Skizzieren Sie das zugehörige Vektorfeld zum Differentialgleichungssystem.

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/GewDgl02.html