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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 08
% 2002-06-28 (Beginn)
% 2002-06-28 (letzte Aenderung)
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\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
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\usepackage[leqno]{amsmath}         % Nummern in Formeln nach Links

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.


%\usepackage{rawfonts,pictex,tabularx}
% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
\usepackage{bbm}         % blackboard (see: /usr/share/texmf/mytex/bbm.dvi)
\setlength{\marginparsep}{3pt}


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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-07-01}
\newcommand{\blattnr}{8}
\newcommand{\aufgabennr}{31}    % erste Aufgabennr.


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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\eins}{\mathbbm 1}                    % Indikatorfunktion

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\const} {const}
\DeclareMathOperator{\Hess} {Hess}

 

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% Aufgaben-Macro
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\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
\textbf{\small Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


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\Aufgabe
Sei $D \subset \R^\nu$ offen und beschr"ankt, $\x_0 \in D$ und
\begin{displaymath}
  X = \set{\f \in C^1(D, \R^\nu)}{ \|f\|_{C^1}<\infty \text{ und }
           \f (\x_0)=0 }
\end{displaymath}
der Banachraum der Vektorfelder in $D$, die in $\x_0$ eine 
Gleichgewichtslage haben. Dabei bezeichnet $\|\cdot\|_{C^1}$ die Norm
\begin{displaymath}
  \|\f\|_{C^1} = 
  \sup_{x \in D} \, (|\f(\x)| + \|D\f(\x)\|).
\end{displaymath}
Sei $Y \subset X$ die Teilmenge der Vektorfelder, die in $\x_0$ 
eine hyperbolische Gleichgewichtslage haben (d.~h.\ $D\f(\x_0)$ hat keinen
Eigenwert mit Realteil $0$). Zeigen Sie, dass $Y$
offen und dicht in $X$ ist. \Hinweis{F"ur die Offenheit k"onnen Sie wie in
  Aufgabe 29 vorgehen, f"ur die Dichtheit k"onnen Sie direkt das Ergebnis aus
  Aufgabe 29 verwenden.}

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\Aufgabe[Beweis der lokalen Variante des Satzes von Hartman-Grobman]

Sei $\f \in C^1(D, \R^\nu)$ f"ur $D \subset \R^\nu$ offen, $\0 \in D$,
$\f(\0)=\0$ und $A:=(D\f)(\0)$. Sei $\rho>0$ so klein, dass
$B_\rho(\0):=\set{\x \in \R^\nu}{|\x| < \rho} \subset D$ gilt. Schlie"slich
sei
\begin{displaymath}
  \g(\x):=\
  \begin{cases}
    \f(\x) - A\x  & \text{f"ur $|\x| \le \rho$},\\
    \f(\rho \, \frac {\displaystyle \x} {\displaystyle |\x|}) - 
     A \rho \, \frac {\displaystyle \x} {\displaystyle |\x|}
             & \text{f"ur $|\x| > \rho$.}
  \end{cases}
\end{displaymath}
Zeigen Sie:  (i) Die Funktion $g$ ist global Lipschitzstetig. (ii) Die
Lipschitz-Konstante $L=L(\rho)$ kann beliebig klein gew"ahlt werden (f"ur
geeignet kleines $\rho > 0$). (iii) $g$ ist beschr"ankt. (iv) Das
Anfangswertproblem
\begin{displaymath}
  \dot \x = A \x + \g(\x), \qquad \x(0)=\x_0
\end{displaymath}
ist f"ur jedes $\x_0 \in \R^\nu$ \emph{global} eindeutig l"osbar. (v) F"ur
$x_0 \in B_\rho(\0)$ seien $t_\pm = t_\pm(\x_0)$ so gew"ahlt, dass $\x(t) \in
B_\rho(\0)$ f"ur alle $t_- < t < t_+$, dann gilt f"ur diese Zeiten auch $\dot
\x = \f(\x)$.

%\enlargethispage*{1cm}

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\Aufgabe[Beispiel zum Satz von Hartman-Grobman]

Gegeben sei die Differentialgleichung $\dot \x = \f(\x)$ mit
\begin{displaymath}
  \f(\x) := 
  \begin{cases}
    0 & \text{f"ur $\x = \0$,}\\
    -\x + \frac{\displaystyle -1}{\displaystyle \ln |\x|} 
        \Matrix{0 & -1 \\ 1 & 0} \x &
        \text{f"ur $0 < |\x| < 1$.}
  \end{cases}
\end{displaymath}
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass $\map \f {B_1(\0)}{\R^2}$ eine $C^1$-Funktion mit
  Ableitung $A:=D\f(0)= -\eins$ ist.
\item Bestimmen Sie die L"osung der Differentialgleichung, indem Sie
  Polarkoordinaten einf"uhren (vgl. Aufgabe~11).
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

\pagebreak
\item Zeigen Sie, dass
  \begin{displaymath}
    h(\x):=
    \begin{cases}
      0                & \text{f"ur $\x = \0$,}\\
      D(\phi(r)) \, \x & \text{f"ur $0 < r=|\x|$}
    \end{cases}
  \end{displaymath}
  mit $\phi(r)=-\ln \ln \frac 1 r$ ein Hom"oomorphismus ist, der den Fluss
  $\Phi_t(\x)$ mit dem linearen Fluss $\Psi_t(\y):=\e^{A t} \y=\e^{-t} \y$
  konjugiert, d.~h., dass $h(\Phi_t(\x))=e^{-t}h(\x)$ gilt. Hierbei ist
  \begin{displaymath}
    D(\phi) := \Matrix { \cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi}
  \end{displaymath}
  die Drehmatrix mit Winkel $\phi \in \R$. \Hinweis{Sie k"onnen sich
    Rechnungen ersparen, indem Sie $D(\phi_1+\phi_2)=D(\phi_1)D(\phi_2)$ sowie
    $|D(\phi_1)\, \x|=|\x|$ f"ur alle $\phi_1,\phi_2 \in \R$ und $\x \in \R^2$
    ausnutzen!}
\end{enumerate}


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\Aufgabe
Eine Verbesserung der Volterra-Lotka-Gleichungen, die zus"atzlich das
Konkurrenzverhalten von R"aubern bzw. Beutetieren untereinander beschreibt,
ist durch das folgende Differentialgleichungssystem gegeben:
\begin{displaymath}
  \begin{array}{rcl}
    \dot x & = & (1-y)x - \mu x^2 \\
    \dot y & = & (x-1)y - \nu y^2
  \end{array},
  \qquad x, y \in (0,\infty)
\end{displaymath}
(vgl. Aufgabe~28 mit $\alpha = \beta = \gamma = \delta = 1$ und $\mu=\nu=0$).
Berechnen Sie die Gleichgewichtslage f"ur $0 < \mu < 1$ und $\nu>0$, und
zeigen Sie mit Hilfe der Linearisierung, dass diese asymptotisch-stabil ist.

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% Pr"asenzaufgaben
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% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


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\Praesenz (zu Aufgabe 34)
\begin{enumerate}
\item Sei $A \in \R^{2 \times 2}$ mit $\spur A < 0$ und $\det A >0$. Zeigen
  Sie, dass $\0$ eine asymptotisch stabile Gleichgewichtslage der
  Differentialgleichung $\dot \x = A \x$ ist.
\item Zeigen Sie, dass die Eigenschaft einer Gleichgewichtslage, asymptotisch
  stabil zu sein, unter topologischer Konjugation erhalten bleibt.
\end{enumerate}

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\Praesenz (zu Aufgabe~32)

Betrachten Sie den Fall $\nu=1$. In diesem Fall ist $Df(0)=f'(0)=a \in \R$.
Machen Sie eine Skizze der Funktion $g$. Zeigen Sie die Behauptungen (i) bis
(v) f"ur diesen Fall.



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\Praesenz (zu Aufgabe~33)

Zeigen Sie, dass die Abbildung $\map h {\R^\nu}{\R^\nu}$ in $\0$ nicht stetig
differenzierbar ist.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz (zu Aufgabe~34)

Skizzieren Sie das zugeh"orige Vektorfeld zum Differentialgleichungssystem.


% \begin{center}
%   \includegraphics[scale=1]
%   {/home/post/Mathematik/Uebungen/dgl/im-unendlichen.ps}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\vfill 
%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in
%   der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.

\vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}
\end{document}


