RWTH Aachen Sommersemester 2002

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-07-08

Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 9 (kleine Korrekturen)

Übungen zur Vorlesung ”Gewöhnliche Differentialgleichungen“

Aufgabe 35: Schallausbreitung in geschichteten Medien Seien a, b > 0 und Q := [0, a] × [0, b] ⊂ ℝ^{2}. Seien außerdem c(·) und ρ(·) stetig differenzierbare, strikt positive Funktionen auf [0, b] (Schallgeschwindigkeit bzw. Dichte eines geschichteten Mediums in Q). Die Schallausbreitung hierin wird durch die partielle Differentialgleichung

(1)  \frac{∂^{2}f}{∂t^{2}} (x, y; t) = [c(y)]^{2}ρ(y)∇\frac{1}{ρ(y)}∇f(x, y; t)

= [c(y)]^{2}Δf(x, y; t) − [c(y)]^{2} \frac{ρ′(y)}{ρ(y)} \frac{∂f}{∂y} (x, y; t)

beschrieben. Zusätzlich werden die Neumannschen Null-Randbedingungen

\frac{∂f}{∂x}(0, y; t) = \frac{∂f}{∂x}(a, y; t) = \frac{∂f}{∂y} (x, 0; t) = \frac{∂f}{∂y} (x, b; t) = 0

für alle x ∈ (0, a), y ∈ (0, b) und t ∈ ℝ gefordert (die physikalisch als vollständige Reflexion der Schallwellen am Rand von Q interpretiert werden). Machen Sie die Separationsansätze

(2)  f(x, y; t) = u(x, y)T (t) und u(x, y) = X(x)Y (y)

und stellen Sie gewöhnliche Differentialgleichungen und Randbedingungen für X, Y, T auf, so dass die Produkte der Lösungen dieser Randwertprobleme Lösungen von (1) und (2) bilden.

Aufgabe 36: Neumann- bzw. ϑ-periodische Randbedinguen Sei a > 0. Für welche λ ∈ ℝ sind die folgenden Randwertprobleme nichttrivial lösbar? Bestimmen Sie jeweils alle Lösungen.

a) u′′ + λu = 0 mit u′(0) = u′(a) = 0 , u ∈ C^{2}([0, a], ℝ) (Neumannsche Null-Randbedingungen).

b) u′′ + λu = 0 mit u(a) = e^{iϑ}u(0) und u′(a) = e^{iϑ}u′(0), ϑ ∈ ℝ, u ∈ C^{2}([0, a], ℂ). Für welche ϑ ∈ ℝ ist der Lösungsraum ein- bzw. zweidimensional?

Aufgabe 37: Symmetrie eines Differentialoperators mit verschiedenen Randbedingungen Seien p ∈ C^{1}([0, a]) und q ∈ C([0, a]), q ≥ 0 und p ≥ p_{0} für eine Konstante p_{0} > 0. Weiter sei der Differentialoperator L definiert durch

(Lφ)(x) = −\frac{d}{dx}(p(x)\frac{d}{dx} φ(x)) + q(x)φ(x)

sowie für Funktionen φ, ψ ∈ C([0, a], ℂ) das Skalarprodukt ⟨φ, ψ⟩ := ∫_{0}^{a} \overline{φ(x)}ψ(x) dx.

a) Seien 𝒱_{1}, 𝒱_{2} ⊂ C^{2}([0, a], ℂ) die im folgenden definierten Vektorräume. Zeigen Sie, dass L jeweils eingeschränkt auf 𝒱_{1} bzw. 𝒱_{2} symmetrisch ist, d. h. zeigen Sie, dass die Gleichung ⟨φ, Lψ⟩ = ⟨Lφ, ψ⟩ jeweils für alle φ, ψ ∈ 𝒱_{1} bzw. für alle φ, ψ ∈ 𝒱_{2} erfüllt ist.

b) Zeigen Sie außerdem, dass ⟨φ, Lφ⟩ ≥ p_{0} ∫_{0}^{a} |φ′(x)|^{2} dx jeweils für alle φ ∈ 𝒱_{1} bzw. für alle φ ∈ 𝒱_{2} gilt. (bitte wenden) c) Gilt zusätzlich ⟨φ, Lφ⟩ ≥ \frac{p_{0}}{a^{2}} ∫_{0}^{a} |φ(x)|^{2} dx für alle φ ∈ 𝒱_{1} und/oder für alle φ ∈ 𝒱_{2}? Wenn

nein, warum nicht? Kann man die Ungleichungen auf kleineren 𝒱̃_{1,2} erhalten?

𝒱_{1} := {φ ∈ C^{2}([0, a], ℂ) | φ′(0) = φ′(a) = 0}  Neumannsche Null-Randbedingungen
𝒱_{2} := {φ ∈ C^{2}([0, a], ℂ) | φ(0) = φ(a) und φ′(0) = φ′(a)} periodische Randbedingungen

Bei 𝒱_{2} sind zusätzlichen Voraussetzungen an p erforderlich. Welche?

Aufgabe 38: Greensche Funktion

a) Seien p, q ∈ C([a, b], ℝ) und u_{1}, u_{2} linear unabhängige Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung u′′ + pu′ + qu = 0, für die Wronskideterminate gilt somit w(x) = u_{1}(x)u′_{2}(x)−u′_{1}(x)u_{2}(x) ≠ 0 für ein x ∈ [a, b] (und damit auch für alle x, vgl. Aufgabe 9). Zu f ∈ C([a, b], ℝ) sei

(3)  u(x) := u_{2}(x) ∫_{a}^{x} \frac{u_{1}(y)}{w(y)} f(y) dy + u_{1}(x) ∫_{x}^{b} \frac{u_{2}(y)}{w(y)} f(y) dy.

Zeigen Sie, dass u ∈ C^{2}([a, b], ℝ) und u′′ + pu′ + qu = f gilt.

b) Schreiben Sie (3) als u(x) = ∫_{a}^{b} G(x, y) f(y) dy und geben Sie die Greensche Funktion G an. Ist G stetig auf [a, b] × [a, b]?

c) Welche Bedingungen müssen u_{1} und u_{2} erfüllen, damit u die Dirichlet-Randbedingungen u(a) = u(b) = 0 erfüllt für alle f? Sei k > 0, k ∉ ℕ. Bestimmen Sie die Greensche Funktion G zu u′′ + k^{2}u = f mit u(0) = u(π) = 0. Wie verhält sich G für k → 0 und k → n ∈ ℕ?

d) Welche Bedingungen müssen u_{1} und u_{2} erfüllen, damit u die Neumann-Randbedingungen u′(a) = u′(b) = 0 erfüllt für alle f? Sei k > 0. Bestimmen Sie die Greensche Funktion G zu u′′ − k^{2}u = f mit u′(0) = u′(1) = 0.

Präsenzaufgabe A: (zu Aufgabe 36) Sei a > 0. Für welche λ ∈ ℝ ist das Randwertproblem u′′ + λu = 0 mit u(0) = u(a) und u′(0) = u′(a) (periodische Randbedingungen), u ∈ C^{2}([0, a], ℝ), nichttrivial lösbar? Bestimme für diese λ den Lösungsraum.

Präsenzaufgabe B: (zu Aufgabe 37) Zeigen Sie, dass L eingeschränkt auf 𝒱_{1} bzw. 𝒱_{2} positiv ist, d. h. dass ⟨φ, Lφ⟩ ≥ 0 für alle φ ∈ 𝒱_{1} bzw. für alle φ ∈ 𝒱_{2} gilt.

Präsenzaufgabe C: (zu Aufgabe 37) Sei L: 𝒟 ⟶ L(𝒟) ein strikt positiver Operator (d. h. es gibt eine Konstante b > 0 mit ⟨φ, Lφ⟩ ≥ b⟨φ, φ⟩ = b∥φ∥^{2} für alle φ ∈ 𝒟 ⊂ C^{2}([0, a], ℂ)). Zeigen Sie, dass dann die Inverse L^{−1} : L(𝒟) ⟶ 𝒟 existiert und beschränkt ist (d. h. es existiert eine Konstante c > 0 mit ∥L^{−1}v∥ ≤ c∥v∥ für alle v ∈ L(𝒟)).

Präsenzaufgabe D: (zu Aufgabe 37) Sei 𝒱 := {φ ∈ C^{2}([0, a], ℂ) | φ(0) = 0} (Dirichletsche Null-Randbedingung bei x = 0). Zeigen Sie, dass es eine Konstante b > 0 mit ⟨φ′, φ′⟩ ≥ b⟨φ, φ⟩ für alle φ ∈ 𝒱 gibt.

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/GewDgl02.html