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% DGL Sommersemester 2002
% Blatt 09
% 2002-07-05 (Beginn)
% 2002-07-10 (letzte Aenderung)
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\usepackage[leqno]{amsmath}         % Nummern in Formeln nach Links

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

%\usepackage{times}           % f"ur PostScript-Schriften (Text)
%\usepackage{mathptm}         % f"ur PostScript-Schriften (Formeln)
\usepackage{bbm}         % blackboard (see: /usr/share/texmf/mytex/bbm.dvi)
\setlength{\marginparsep}{3pt}


%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Gew"ohnliche
  Differentialgleichungen"'}
\newcommand{\semester}{Sommersemester 2002}

\newcommand{\datum}{2002-07-08}
\newcommand{\blattnr}{9}
\newcommand{\aufgabennr}{35}    % erste Aufgabennr.


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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
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\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\eins}{\mathbbm 1}                    % Indikatorfunktion

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
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\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
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\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

\DeclareMathOperator{\spur} {spur}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\const} {const}
\DeclareMathOperator{\Hess} {Hess}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
\textbf{\small Blatt~\blattnr\ (kleine Korrekturen)}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[Schallausbreitung in geschichteten Medien]

Seien $a,b > 0$ und $Q:=[0,a] \times [0,b] \subset \R^2$. Seien au"serdem $c(\cdot)$ und $\rho(\cdot)$ stetig 
differenzierbare, strikt positive Funktionen auf $[0,b]$  
(Schallgeschwindigkeit bzw.~Dichte eines \emph{geschichteten Mediums} in $Q$). 
Die Schallausbreitung hierin wird durch die partielle Differentialgleichung
\begin{align}
  \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}(x,y;t) &= 
    [c(y)]^2 \rho(y) \nabla\frac{1}{\rho(y)} \nabla f(x,y;t) 
     \\\nonumber &= [c(y)]^2
    \Delta f(x,y;t) - 
    [c(y)]^2 \frac{\rho'(y)}{\rho(y)}\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y;t)
\end{align}
beschrieben. Zus"atzlich werden die \emph{Neumannschen Null-Randbedingungen}
\begin{displaymath}  
  \frac{\partial f}{\partial x}(0,y;t)=
  \frac{\partial f}{\partial x}(a,y;t)=
  \frac{\partial f}{\partial y}(x,0;t)=
  \frac{\partial f}{\partial y}(x,b;t)=0 
\end{displaymath}
f"ur alle $x \in (0,a) $, $y \in (0,b)$ und $t \in \R$ gefordert (die
physikalisch als vollst"andige Reflexion der Schallwellen am Rand von $Q$
interpretiert werden). Machen Sie die Separationsans"atze
\begin{equation}
  f(x,y;t)=u(x,y)T(t) \qquad \text{und} \qquad u(x,y)=X(x)Y(y)
\end{equation}
und stellen Sie gew"ohnliche Differentialgleichungen und Randbedingungen f"ur 
$X,Y,T$ auf, so dass die Produkte der L"osungen dieser Randwertprobleme  
L"osungen von (1) und (2) bilden.


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[Neumann- bzw. $\vartheta$-periodische Randbedinguen]

Sei $ a> 0$. F"ur welche $\lambda \in \R$ sind die folgenden Randwertprobleme
nichttrivial l"osbar? Bestimmen Sie jeweils alle L"osungen.
\begin{enumerate}
\item $u''+ \lambda u = 0$ mit $u'(0) = u'(a) = 0$ , $u\in C^2([0,a],\R)$
  (Neumannsche Null-Randbedingungen).
\item $u''+\lambda u=0$ mit $u(a)=\e^{i\vartheta}u(0)$ und
  $u'(a)=\e^{i\vartheta} u'(0)$, $\vartheta \in \R$, $u\in C^2([0,a],\C)$.
  F"ur welche $\vartheta \in \R$ ist der L"osungsraum ein-
  bzw.~zweidimensional?
\end{enumerate}
% \Hinweis{Wie bei den Dirichlet-Randbedingungen gilt auch hier
% $\lambda\ge0$, setzen Sie daher $\lambda=k^2$ mit $k\ge0$.}


\enlargethispage*{15mm}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[Symmetrie eines Differentialoperators mit verschiedenen
Randbedingungen]

Seien $p\in C^1([0,a])$ und $q\in C([0,a])$, $q \ge 0$ und $p \ge p_0$ 
f"ur eine Konstante $p_0>0$. Weiter sei der Differentialoperator $L$ definiert
durch 
\begin{displaymath}
  (L \varphi)(x) = -\frac d {dx} \bigl( p(x) \frac{d}{dx} \, \varphi(x) \bigr)
     + q(x) \varphi(x)
\end{displaymath}
sowie f"ur Funktionen $\varphi, \psi \in C([0,a], \C)$ das Skalarprodukt
$\langle \varphi, \psi \rangle := \int_0^a \overline{\varphi (x)} \psi (x)\,
dx$.

\begin{enumerate}
\item Seien $\mathcal V_1, \mathcal V_2 \subset C^2([0,a],\C)$ die im
  folgenden definierten Vektorr"aume. Zeigen Sie, dass $L$ jeweils
  eingeschr"ankt auf $\mathcal V_1$ bzw.\ $\mathcal V_2$ symmetrisch ist,
  d.~h.\, zeigen Sie, dass die Gleichung $\langle \varphi, L\psi \rangle =
  \langle L\varphi, \psi \rangle$ jeweils f"ur alle $\varphi,\psi\in \mathcal
  V_1$ bzw. f"ur alle $\varphi,\psi\in \mathcal V_2$ erf"ullt ist.
  
\item Zeigen Sie au"serdem, dass $\langle \varphi, L \varphi \rangle \ge p_0
  \int_0^a |\varphi'(x)|^2 \,dx$ jeweils f"ur alle $\varphi \in \mathcal
  V_1$ bzw. f"ur alle $\varphi \in \mathcal V_2$ gilt.
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

\pagebreak
  
\item Gilt zus"atzlich $\langle \varphi, L\varphi \rangle \ge
  \frac{p_0}{a^2}\int_0^a |\varphi(x)|^2 \,dx$ f"ur alle $\phi \in \mathcal
  V_1$ und/oder f"ur alle $\phi \in \mathcal V_2$? Wenn nein, warum nicht?
  Kann man die Ungleichungen auf kleineren $\widetilde {\mathcal V}_{1,2}$
  erhalten? 
\begin{align*}
   \mathcal V_1 & := \set{\varphi \in C^2([0,a],\C)}
                          {\varphi'(0)=\varphi'(a)=0} \qquad\:\:
              \text{Neumannsche Null-Randbedingungen}\\
  \mathcal V_2 & := \set{\varphi \in C^2([0,a],\C)}
                          {\varphi(0) =\varphi(a) \text{ und }
                           \varphi'(0)=\varphi'(a)} \:
              \text{periodische Randbedingungen}
\end{align*}
Bei $\mathcal V_2$ sind zus"atzlichen Voraussetzungen an $p$ erforderlich.
Welche?
\end{enumerate}

\enlargethispage*{15mm}
%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[Greensche Funktion]
 \begin{enumerate}
\item Seien $p,\, q \in C([a,b],\R)$ und $u_1,u_2$ linear unabh"angige
  L"osungen der homogenen linearen Differentialgleichung $u''+pu'+qu=0$,
  f"ur die Wronskideterminate gilt somit
  $w(x)=u_1(x)u_2'(x)-u_1'(x)u_2(x)\ne0$ f"ur ein $x \in [a,b]$ (und damit
  auch f"ur alle $x$, vgl.\ Aufgabe~9). Zu $f \in C([a,b],\R)$ sei
  \begin{equation}
     u(x) := u_2(x) \int_a^x \frac {u_1(y)}{w(y)} \,f(y) \,dy
           + u_1(x) \int_x^b \frac {u_2(y)}{w(y)} \,f(y) \,dy.
  \end{equation}
  Zeigen Sie, dass $u \in C^2([a,b], \R)$ und $u''+pu'+qu=f$ gilt.
  
\item Schreiben Sie (3) als $u(x) = \int_a^b G(x,y) \,f(y) \,dy$ und geben Sie
  die Greensche Funktion $G$ an. Ist $G$ stetig auf $[a,b] \times [a,b]$?
  
% \item Welche Bedingungen m"ussen $u_1$ und $u_2$ erf"ullen, damit $u$ die
%   Dirichlet-Randbedingungen $u(a)=u(b)=0$ erf"ullt (f"ur alle $f$)?  Zeigen
%   Sie, dass sich diese Bedingungen genau dann erf"ullen lassen, wenn die
%   homogene Differentialgleichung mit Dirichlet-Randbedingungen nur die
%   triviale L"osung hat.
% \item Wiederholen Sie die Untersuchung aus c) f"ur die Neumann-Randbedingungen
%   $u'(a)=u'(b)=0$.
  
\item Welche Bedingungen m"ussen $u_1$ und $u_2$ erf"ullen, damit $u$ die
  Dirichlet-Randbedingungen $u(a)=u(b)=0$ erf"ullt f"ur alle $f$? Sei $k > 0$,
  $k \notin \N$. Bestimmen Sie die Greensche Funktion $G$ zu $u''+k^2u=f$ mit
  $u(0)=u(\pi)=0$. Wie verh"alt sich $G$ f"ur $k\to 0$ und $k \to n \in \N$?
\item Welche Bedingungen m"ussen $u_1$ und $u_2$ erf"ullen, damit $u$ die
  Neumann-Randbedingungen $u'(a)=u'(b)=0$ erf"ullt f"ur alle $f$? Sei $k>0$.
  Bestimmen Sie die Greensche Funktion $G$ zu $u''-k^2u=f$ mit
  $u'(0)=u'(1)=0$.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


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\Praesenz[(zu Aufgabe 36)]

 Sei $a>0$. F"ur welche $\lambda \in \R$ ist das
Randwertproblem $u''+\lambda u=0$ mit $u(0)=u(a)$ und $u'(0)=u'(a)$
(periodische Randbedingungen), $u\in C^2([0,a],\R)$, nichttrivial l"osbar?
Bestimme f"ur diese $\lambda$ den L"osungsraum.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz[(zu Aufgabe~37)]

Zeigen Sie, dass $L$ eingeschr"ankt auf $\mathcal V_1$ bzw.\ $\mathcal V_2$
positiv ist, d.~h.\, dass $\langle \varphi, L \varphi \rangle \ge 0$ f"ur alle
$\varphi \in \mathcal V_1$ bzw.\ f"ur alle $\varphi \in \mathcal V_2$ gilt.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz[(zu Aufgabe~37)]

Sei $\map L {\mathcal D} {L(\mathcal D)}$ ein strikt positiver Operator (d.~h.
es gibt eine Konstante $b>0$ mit $\langle \varphi, L \varphi \rangle \ge b
\langle \varphi, \varphi \rangle = b \| \varphi \|^2$ f"ur alle $\varphi \in
\mathcal D \subset C^2([0,a],\C)$). Zeigen Sie, dass dann die Inverse $\map
{L^{-1}} {L(\mathcal D)} {\mathcal D}$ existiert und beschr"ankt ist (d.~h. es
existiert eine Konstante $c>0$ mit $\| L^{-1}v \| \le c \|v \|$ f"ur alle $v
\in L(\mathcal D)$).

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz[(zu Aufgabe~37)]

Sei $\mathcal V:=\set{\varphi \in C^2([0,a],\C)}{\varphi(0)=0}$ (Dirichletsche
Null-Randbedingung bei $x=0$). Zeigen Sie, dass es eine Konstante $b>0$ mit
$\langle \phi',\phi' \rangle \ge b \langle \phi, \phi \rangle$ f"ur alle $\phi
\in \mathcal V$ gibt.


% \begin{center}
%   \includegraphics[scale=1]
%   {/home/post/Mathematik/Uebungen/dgl/im-unendlichen.ps}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\vfill 
%\textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{mittwochs um 8.15 bis 9.45
%   Uhr im "`Kleinen Physikh"orsaal"'} statt. Die Aufgabenbl"atter werden in
%   der
%   Regel montags in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
%   Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
%   Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
%   werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
%   H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Die Aufgabenbl"atter sind auch
%   "uber die unten angegebene Internet-Seite erreichbar.

%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde mittwochs von 15
%   bis 16 Uhr.

\vspace{2mm} {\footnotesize Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/GewDgl02.html}}
\end{document}


