RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-10-23 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 1

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 1: Sei a = (a_{j}) eine Folge mit ∑_{j} a_{j} < ∞ und a_{j} > 0 für alle j ≥ 0. Weiterhin sei

d_{a}(s, t) := ∑_{j=0}^{∞} a_{j} d_{A}^{1}(s_{j}, t_{j})

für s, t ∈ Σ_{A}. Zeigen Sie, dass die Metrik d_{a} zur Metrik d^{1} (siehe Präsenzaufgabe A, Gleichung (1)) äquivalent ist, d. h., zeigen Sie, dass die Abbildung id: (Σ_{A}, d_{a}) ⟶ (Σ_{A}, d^{1}), x ↦ x und ihre Umkehrabbildung gleichmäßig stetig sind.

Aufgabe 2: Zeigen Sie, dass die Menge der periodischen Punkte des dynamischen Systems (F, I) dicht in I = [0, 1] liegen (vgl. Präsenzaufgabe B). Gilt diese Aussage auch für beliebige stetige Funktionen G: I ⟶ I mit G(0) = G(1) = 0, G(1/2) = 1, G monoton wachsend auf [0, 1/2] und monoton fallend auf [1/2, 1]?

Aufgabe 3: Bezeichnungen siehe Präsenzaufgabe C

a) Zeigen Sie, dass die Menge der periodischen Punkte Per(σ) = ∪_{n} Per_{n}(σ) dicht in Σ_{A} liegt.

b) Zeigen Sie, dass es eine dichte Bahn in Σ_{A} gibt, d. h., dass es ein Element s ∈ Σ_{A} gibt, so dass 𝒪(s) := {σ^{k}(s) | k ∈ ℕ} dicht in Σ_{A} liegt. Dynamische Systeme mit dieser Eigenschaft heißen auch topologisch transitiv.

c) Zeigen Sie dass das dynamische System (Σ_{A}, σ) empfindlich von den Daten abhängt, d. h., dass es ein ε_{0} > 0 gibt, so dass für alle t ∈ Σ_{A} und alle δ > 0 ein s ∈ B_{δ}(t) und ein k = k(s, t) ∈ ℕ mit d(σ^{k}(s), σ^{k}(t)) ≥ ε_{0} gibt.

Aufgabe 4: Sei Σ′ := {s ∈ Σ_{{0,1}} | s_{i} = 0 ⇒ s_{i+1} = 1, i ≥ 0} die Menge aller Folgen, in denen auf eine 0 stets eine 1 folgt. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften:

a) die Shiftabbildung σ lässt die Menge Σ′ invariant, und Σ′ ist abgeschlossen in Σ_{{0,1}}.

b) Per(σ′) ist dicht in Σ′, wobei σ′ die Einschränkung von σ auf Σ′ ist.

c) Σ′ enthält einen dichten Orbit bezüglich σ′.

d) Finden Sie eine Rekursionsformel p_{n} := F (p_{n−2}, p_{n−1}) für p_{n} := | Per_{n}(σ′)|.

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html Dort gibt

es auch einen Verweis zu den Übungsblättern.

Präsenzaufgabe A: Sei A eine endliche Menge (”Alphabet“). Auf A seien die beiden ”Abstandsfunktionen“

d_{A}^{1}(a, b) := \begin{cases}0, & a = b \\ 1, & a ≠ b \end{cases} und d_{A}^{2}(a, b) := \begin{cases}0, & a = b \\ > 0 (sonst bel.) , & a ≠ b \end{cases}

für a, b ∈ A definiert. Auf der Menge Σ_{A} der Folgen in A definieren wir

d^{ℓ}(s, t) := ∑_{j=0}^{∞} 2^{−j} d_{A}^{ℓ}(s_{j}, t_{j})  (1)

für s = (s_{j}), t = (t_{j}) ∈ Σ_{A} und ℓ = 1, 2.

a) Zeigen Sie, dass es Konstanten 0 < m ≤ M mit

m d_{A}^{1}(a, b) ≤ d_{A}^{2}(a, b) ≤ M d_{A}^{1}(a, b)

für alle a, b ∈ A gibt.

b) Zeigen Sie weiterhin, dass es Konstanten 0 < m̃ ≤ M̃ mit

m̃ d^{1}(s, t) ≤ d^{2}(s, t) ≤ M̃ d^{1}(s, t)

für alle s, t ∈ Σ_{A} gibt. Bemerkung: d^{1} ist eine Metrik auf Σ_{A}; wenn d_{A}^{2} eine Metrik auf A ist, dann ist auch d^{2} eine Metrik auf Σ_{A}.

Präsenzaufgabe B: Die sog. Zeltabbildung F: I ⟶ I auf I := [0, 1] ist definiert durch

F (x) := \begin{cases}2x, & 0 ≤ x ≤ 1/2 \\ 2 − 2x, & 1/2 < x ≤ 1. \end{cases}

Berechnen Sie die Iterierte F^{2} = F ∘F. Skizzieren Sie F, F^{2}, F^{(n)}. Berechnen Sie Fixpunkte und 2-periodische Punkte von F. Welche 2-periodischen Punkte sind prim? Wieviele n-periodische Punkte gibt es?

Präsenzaufgabe C: Gegeben sei die Menge Σ_{A} der Folgen im Alphabet A mit Metrik d := d^{1} (siehe Präsenzaufgabe A) und Shiftabbildung σ: Σ_{A} ⟶ Σ_{A}, σ(s)_{i} := s_{i+1}, i ≥ 0.

a) Wählen Sie zu ε > 0 und s ∈ Σ_{A} ein Element t ∈ Σ_{A} mit d(s, t) < ε und s ≠ t. Inwieweit dürfen sich s und t unterscheiden?

b) In welcher Beziehung stehen d(s, t) und d(σ^{k}(s), σ^{k}(t)) für s, t ∈ Σ_{A}, k ∈ ℕ?

c) Was bedeutet es, wenn eine Folge s^{(n)} = (s_{j}^{(n)}) (von Folgen!) gegen s ∈ Σ_{A} konvergiert? Zeigen Sie, dass eine Folge s^{(n)} in Σ_{A} genau dann gegen s ∈ Σ_{A} konvergiert, wenn es zu jedem j_{0} ∈ ℕ ein n_{0} ∈ ℕ mit s_{j}^{(n)} = s_{j} für alle n ≥ n_{0} und alle 0 ≤ j ≤ j_{0} gibt.

d) Sei Per_{n}(σ) := {s ∈ Σ_{A} | σ^{n}(s) = s} die Menge der n-periodischen Punkte bezüglich (Σ_{A}, σ). Berechnen Sie die Anzahl p_{n} := | Per_{n}(σ)| der n-periodischen Punkte.

Hinweis: Die Übung findet montags von 15.45 bis 17.15 Uhr im Raum 224 im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenblätter werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden Übung werden die Präsenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und können in der darauffolgenden Übung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. Für den Übungsschein ist die Hälfte der Gesamtpunktzahl erforderlich. Olaf Post ist im Raum 234 (Hauptgebäude) und unter der Telefonnummer 80-9 45 13 sowie per Rechner unter post@iram.rwth-aachen.de zu erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.