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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 01
% 2002-10-10 (Beginn)
% 2002-10-22 (letzte Aenderung)
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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-10-23}
\newcommand{\blattnr}{1}
\newcommand{\aufgabennr}{1}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Sei $a=(a_j)$ eine Folge mit $\sum_j a_j < \infty$ und $a_j>0$ f"ur alle $j
\ge 0$. Weiterhin sei
\begin{displaymath}
  d_a(s,t):= \sum_{j=0}^\infty a_j \, d_A^1(s_j,t_j)
\end{displaymath}
f"ur $s,t \in \Sigma_A$. Zeigen Sie, dass die Metrik $d_a$ zur Metrik $d^1$
(siehe Pr"asenzaufgabe~A, Gleichung~\eqref{def:met}) "aquivalent ist, d.~h.,
zeigen Sie, dass die Abbildung $\map {id} {(\Sigma_A,d_a)}{(\Sigma_A,d^1)}$,
$x \mapsto x$ und ihre Umkehrabbildung \emph{gleichm"a"sig} stetig sind.


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\Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Menge der periodischen Punkte des dynamischen Systems
$(F,I)$ dicht in $I=[0,1]$ liegen (vgl.~Pr"asenzaufgabe~B). Gilt diese Aussage
auch f"ur beliebige stetige Funktionen $\map G I I$ mit $G(0)=G(1)=0$,
$G(1/2)=1$, $G$ monoton wachsend auf $[0,1/2]$ und monoton fallend auf
$[1/2,1]$?

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\Aufgabe[Bezeichnungen siehe Pr"asenzaufgabe~C]
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die Menge der periodischen Punkte $\Per(\sigma)= \cup_n
\Per_n(\sigma)$ dicht in $\Sigma_A$ liegt. 

\item Zeigen Sie, dass es eine dichte Bahn in $\Sigma_A$ gibt, d.~h., dass es
  ein Element $s \in \Sigma_A$ gibt, so dass $\mathcal
  O(s):=\set{\sigma^k(s)}{k \in \N}$ dicht in $\Sigma_A$ liegt. Dynamische
  Systeme mit dieser Eigenschaft hei"sen auch \emph{topologisch transitiv}.
  
\item Zeigen Sie dass das dynamische System $(\Sigma_A,\sigma)$
  \emph{empfindlich von den Daten abh"angt}, d.~h., dass es ein $\eps_0>0$
  gibt, so dass f"ur alle $t \in \Sigma_A$ und alle $\delta>0$ ein $s \in
  B_\delta(t)$ und ein $k=k(s,t) \in \N$ mit $d(\sigma^k(s),\sigma^k(t)) \ge
  \eps_0$ gibt.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Sei $\Sigma':=\set{s \in \Sigma_{\{0,1\}}} {s_i=0 \Rightarrow
    s_{i+1}=1, i \ge 0}$ die Menge aller Folgen, in denen auf eine $0$ stets
  eine $1$ folgt. Zeigen Sie die folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item die Shiftabbildung $\sigma$ l"asst die Menge $\Sigma'$ invariant, und
  $\Sigma'$ ist abgeschlossen in $\Sigma_{\{0,1\}}$.

\item $\Per(\sigma')$ ist dicht in $\Sigma'$, wobei $\sigma'$ die
  Einschr"ankung von $\sigma$ auf $\Sigma'$ ist.

\item $\Sigma'$ enth"alt einen dichten Orbit bez"uglich $\sigma'$.
  
\item Finden Sie eine Rekursionsformel $p_n:=F(p_{n-2},p_{n-1})$ f"ur
  $p_n:=|\Per_n(\sigma')|$.
\end{enumerate}

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}
    Dort gibt es auch einen Verweis zu den "Ubungsbl"attern.}
\pagebreak
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% Pr"asenzaufgaben
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% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


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\Praesenz
Sei $A$ eine endliche Menge ("`Alphabet"'). Auf $A$ seien die beiden
"`Abstandsfunktionen"'
\begin{displaymath}
  d_A^1(a,b):=
  \begin{cases}
    0, & a =   b\\
    1, & a \ne b
  \end{cases}
  \qquad \text{und} \qquad
  d_A^2(a,b):=
  \begin{cases}
    0, & a =   b\\
    >0 \text{ (sonst bel.) }, & a \ne b
  \end{cases}
\end{displaymath}
f"ur $a,b \in A$ definiert. Auf der Menge $\Sigma_A$ der Folgen in $A$
definieren wir
\begin{equation}
  \label{def:met}
  d^\ell (s,t):= \sum_{j=0}^\infty 2^{-j} \, d_A^\ell(s_j,t_j)
\end{equation}
f"ur $s=(s_j), t=(t_j) \in \Sigma_A$ und $\ell= 1,2$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass es Konstanten $0 < m \le M$ mit
  \begin{displaymath}
    m \, d_A^1(a,b) \le d_A^2(a,b) \le M \, d_A^1(a,b)
  \end{displaymath}
  f"ur alle $a,b \in A$ gibt.
\item Zeigen Sie weiterhin, dass es Konstanten $0 < \tilde m \le \tilde M$ mit
  \begin{displaymath}
    \tilde m \, d^1(s,t) \le d^2(s,t) \le \tilde M \, d^1(s,t)
  \end{displaymath}
  f"ur alle $s,t \in \Sigma_A$ gibt. \emph{Bemerkung:} $d^1$ ist eine Metrik
  auf $\Sigma_A$; wenn $d^2_A$ eine Metrik auf $A$ ist, dann ist auch $d^2$
  eine Metrik auf $\Sigma_A$.
\end{enumerate}



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\Praesenz
Die sog.\ \emph{Zeltabbildung} $\map F I I$ auf $I:=[0,1]$ ist definiert
durch
\begin{displaymath}
  F(x):=
  \begin{cases}
    2x,   & 0   \le x \le 1/2\\
    2-2x, & 1/2 <   x \le 1. 
  \end{cases}
\end{displaymath}
Berechnen Sie die Iterierte $F^2=F \circ F$. Skizzieren Sie $F, F^2,
F^{(n)}$. Berechnen Sie Fixpunkte und $2$-periodische Punkte von $F$. Welche
$2$-periodischen Punkte sind prim? Wieviele $n$-periodische Punkte gibt es?


\enlargethispage*{2cm}
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\Praesenz
Gegeben sei die Menge $\Sigma_A$ der Folgen im
Alphabet $A$ mit Metrik $d:=d^1$ (siehe Pr"asenzaufgabe~A) und Shiftabbildung
$\map \sigma {\Sigma_A} {\Sigma_A}$, $\sigma(s)_i := s_{i+1}$, $i \ge 0$.
\begin{enumerate}
\item W"ahlen Sie zu $\eps>0$ und $s \in \Sigma_A$ ein Element $t \in
  \Sigma_A$ mit $d(s,t) < \eps$ und $s \ne t$.  Inwieweit d"urfen sich $s$ und
  $t$ unterscheiden?

\item In welcher Beziehung stehen $d(s,t)$ und $d(\sigma^k(s),\sigma^k(t))$
  f"ur $s,t \in \Sigma_A$, $k \in \N$?
  
\item Was bedeutet es, wenn eine Folge $s^{(n)}=(s^{(n)}_j)$ (von Folgen!)
  gegen $s \in \Sigma_A$ konvergiert? Zeigen Sie, dass eine Folge $s^{(n)}$ in
  $\Sigma_A$ genau dann gegen $s \in \Sigma_A$ konvergiert, wenn es zu jedem
  $j_0 \in \N$ ein $n_0 \in \N$ mit $s^{(n)}_j=s_j$ f"ur alle $n \ge n_0$ und
  alle $0 \le j \le j_0$ gibt.
\item Sei $\Per_n(\sigma):=\set{s \in \Sigma_A}{\sigma^n(s)=s}$ die Menge
  der $n$-periodischen Punkte bez"uglich $(\Sigma_A, \sigma)$. Berechnen Sie
  die Anzahl $p_n:=|\Per_n(\sigma)|$ der $n$-periodischen Punkte.
\end{enumerate}



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\vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis 17.15
  Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter werden in der
  Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden "Ubung werden die
  Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen Ziffern) sind als
  Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden "Ubung abgegeben
  werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den "Ubungsschein ist die
  H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
  Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
  80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
  erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



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\end{document}

