RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-10-30 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 2

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 5: Sei F: X ⟶ X eine stetige Selbstabbildung eines metrischen Raumes (X, d) und sei \overline{x} ∈ Per_{p}(F) ein anziehender periodischer Punkt. Beweisen Sie, dass der Orbit 𝒪(\overline{x}) = \{\overline{x}, F (\overline{x}), …, F^{p−1}(\overline{x})\} von \overline{x} ein Attraktor ist.

Aufgabe 6: Gegeben sei die logistische Abbildung F_{μ}(x) := μx(1 − x) auf X = [0, 1] mit 1 < μ < 3. Zeigen Sie, dass

lim_{n→∞} F_{μ}^{n}(x) = ξ_{μ} := 1 − \frac{1}{μ} für x ∈ (0, 1) und lim_{n→∞} F_{μ}^{n}(x) = 0 für x ∈ \{0, 1\}

gilt. Hinweis: Betrachten Sie die Fälle 1 < μ < 2, μ = 2 sowie 2 < μ < 3 getrennt, wobei im letzten Fall x = ξ_{μ} sowie x = \overline{ξ}_{μ} := 1−ξ_{μ} als ”Teilungspunkte“ wichtig sind. Betrachten Sie im Fall 2 < μ < 3 die Abbildung F_{μ}^{2} (Maple oder ein vergleichbares Programm kann bei der Skizze nützlich sein). Beachten Sie außerdem, dass die Symmetrie F (x) = F (1−x) die Untersuchung vereinfachen kann.

Aufgabe 7: Die klassische Cantormenge C wird wie folgt definiert: Sei C_{0} := [0, 1]. Die Menge C_{n+1} erhält man aus C_{n}, indem jeweils das offene mittlere Drittel der Teilintervalle von C_{n} entfernt wird. Damit erhält man C_{1} = [0, \frac{1}{3}] ∪ [\frac{2}{3}, 1], C_{2} = [0, \frac{1}{9}] ∪ [\frac{2}{9}, \frac{1}{3}] ∪ [\frac{2}{3}, \frac{7}{9}] ∩ [\frac{8}{9}, 1] usw. Schließlich setzt man C := ⋂_{n∈ℕ} C_{n}. Zeigen Sie, dass C abgeschlossen, perfekt und vollständig unzusammenhängend ist. (Eine Menge heißt perfekt, wenn sie keine isolierten Punkte enthält. Eine Menge ist vollständig unzusammenhängend, falls sie kein nichttriviales Intervall [a, b], a < b, enthält.). Beweisen Sie schließlich, dass C selbstähnlich ist: Die Abbildung x ↦ 3^{n}x−k ist eine Bijektion von C_{k,n} := C ∩ [k3^{−n}, (k + 1)3^{−n}] nach C für n ∈ ℕ, wobei k ∈ ℕ so gewählt ist, dass C_{k,n} ≠ ∅ gilt. Hinweis: Denken Sie an die Darstellung im tertiären Zahlensystem!

Aufgabe 8: Sei F: X ⟶ X eine stetige Abbildung auf dem metrischen Raum (X, d).

i) Zeigen Sie: Wenn (X, F) topologisch transitiv ist (in dem Sinne, dass eine dichte Bahn existiert), dann existiert zu jedem Paar offener (nichtleerer) Teilmengen U, V von X ein n ∈ ℕ, so dass F^{n}(U) ∩ V ≠ ∅ gilt.

ii) Sei (X, F) ein nichttriviales dynamisches System (d. h. X hat unendlich viele Punkte) mit einer dichten Bahn und x_{0} periodisch. Zeigen Sie, dass der Anziehungsbereich 𝒜(x_{0}) := {x ∈ X | lim_{n→∞} d(F^{n}(x), 𝒪(x_{0})) = 0} der periodischen Bahn 𝒪(x_{0}) keine (nichtleere) offene Menge enthalten kann.

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

Präsenzaufgabe A: Sei (X, d) ein metrischer Raum und F: X ⟶ X eine stetige Abbildung. Weiter sei \overline{x} ein pperiodischer Punkt und 𝒪(\overline{x}) = \{\overline{x}, F (\overline{x}), …, F^{p−1}(\overline{x})\} der zugehörige Orbit. Zeigen Sie, dass es zu jedem x_{0} ∈ 𝒪(\overline{x}) und jedem k ∈ ℕ Zahlen m, r ∈ \{0, …, p − 1\} und ℓ ∈ ℕ gibt, so dass F^{m}(x_{0}) = \overline{x} und F^{k}(x_{0}) = (F^{r} ∘ F^{ℓp} ∘ F^{m})(x_{0}) gilt.

Präsenzaufgabe B:

i) Gegeben sei die logistische Abbildung F_{μ}(x) := μx(1 − x) auf X = [0, 1] mit 1 ≤ μ < 3.

(a) Zeigen Sie im Fall μ = 1, dass lim_{n→∞} F_{1}^{n}(x) = 0 für alle x ∈ X gilt.

(b) Zeigen Sie, dass ξ_{μ} = 1 − 1/μ ein anziehender Fixpunkt für 1 < μ < 3 ist. Hinweis: Mittelwertsatz!

(c) Skizzieren Sie den Graphen von F_{μ}^{2} für 2 < μ < 3.

ii) Sei F: X ⟶ X stetig und F (\overline{x}) = \overline{x}, und für x ∈ X gelte lim_{k→∞} F^{2k}(x) = \overline{x}. Zeigen Sie, dass dann auch lim_{n→∞} F^{n}(x) = \overline{x} gilt.

Präsenzaufgabe C: Sei F: [0, 1] ⟶ ℝ die Zeltabbildung F (x) := 3x für 0 ≤ x ≤ 1/2 bzw. F (x) := 3 − 3x für 1/2 < x ≤ 1. Weiter sei

Λ_{n} := {x ∈ [0, 1] | F^{n}(x) ∈ [0, 1]} und Λ := ⋂_{n∈ℕ}Λ_{n}.

Veranschaulichen Sie sich die Konstruktion von Λ_{n} und Λ durch eine Skizze. Verwenden Sie die Darstellung von x ∈ [0, 1] im tertiären Zahlensystem (x = ∑_{i∈ℕ} x_{i}3^{−i}, x_{i} ∈ {0, 1, 2}), und überlegen Sie, wann x ∈ Λ_{n} bzw. x ∈ Λ gilt.

The Red Queen shook her head. “You may call it ‘nonsense’ if you like,” she said, “but I’ve heard nonsense, compared with which that would be as sensible as a dictionary!”

(aus ”Through the looking glass“ von Lewis Carroll)