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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 02
% 2002-10-29 (Beginn)
% 2002-10-30 (letzte Aenderung)
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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-10-30}
\newcommand{\blattnr}{2}
\newcommand{\aufgabennr}{5}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\roman{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\alph{enumii})}
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\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Sei $\map F X X$ eine stetige Selbstabbildung eines metrischen Raumes $(X,d)$
und sei $\overline x \in \Per_p(F)$ ein anziehender periodischer
Punkt. Beweisen Sie, dass der Orbit $\mathcal O(\overline x)=\{\overline x,
F(\overline x), \dots, F^{p-1}(\overline x)\}$ von $\overline
x$ ein Attraktor ist.


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Gegeben sei die logistische Abbildung $F_\mu(x):=\mu x(1-x)$ auf
$X=[0,1]$ mit $1 < \mu < 3$. Zeigen Sie, dass
\begin{displaymath}
  \lim_{n \to \infty} F^n_\mu(x) = \xi_\mu := 1-\frac 1 \mu
  \quad \text{f"ur $x \in (0,1)$ und} \quad
  \lim_{n \to \infty} F^n_\mu(x) = 0
  \quad \text{f"ur $x \in \{0,1\}$}
\end{displaymath}
gilt. \Hinweis{Betrachten Sie die F"alle $1 < \mu < 2$, $\mu = 2$ sowie $2 <
  \mu < 3$ getrennt, wobei im letzten Fall $x=\xi_\mu$ sowie $x=\overline
  \xi_\mu := 1 - \xi_\mu$ als "`Teilungspunkte"' wichtig sind. Betrachten Sie
  im Fall $2 < \mu < 3$ die Abbildung $F^2_\mu$ (Maple oder ein vergleichbares
  Programm kann bei der Skizze n"utzlich sein). Beachten Sie au"serdem, dass
  die Symmetrie $F(x)=F(1-x)$ die Untersuchung vereinfachen kann.}

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\Aufgabe

Die klassische \emph{Cantormenge} $C$ wird wie folgt definiert: Sei
$C_0:=[0,1]$. Die Menge $C_{n+1}$ erh"alt man aus $C_n$, indem jeweils das
offene mittlere Drittel der Teilintervalle von $C_n$ entfernt wird.  Damit
erh"alt man $C_1=[0,\frac13] \cup [\frac23,1]$, $C_2=[0,\frac19] \cup
[\frac29,\frac13] \cup [\frac23,\frac79] \cap [\frac89,1]$ usw. Schlie"slich
setzt man $C:= \bigcap_{n \in \N} C_n$.

Zeigen Sie, dass $C$ \emph{abgeschlossen, perfekt} und \emph{vollst"andig
  unzusammenh"angend} ist. (Eine Menge hei"st \emph{perfekt}, wenn sie keine
isolierten Punkte enth"alt. Eine Menge ist \emph{vollst"andig
  unzusammenh"angend}, falls sie kein nichttriviales Intervall $[a,b]$, $a<b$,
enth"alt.).

Beweisen Sie schlie"slich, dass $C$ selbst"ahnlich ist: Die Abbildung $x
\mapsto 3^nx - k$ ist eine Bijektion von $C_{k,n}:= C \cap [k3^{-n},
(k+1)3^{-n}]$ nach $C$ f"ur $n \in \N$, wobei $k \in \N$ so gew"ahlt ist, dass
$C_{k,n} \ne \emptyset$ gilt. \Hinweis{Denken Sie an die Darstellung im
  terti"aren Zahlensystem!}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Sei $\map F X X$ eine stetige Abbildung auf dem metrischen Raum $(X,d)$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie: Wenn $(X,F)$ topologisch transitiv ist (in dem Sinne, dass
  eine dichte Bahn existiert), dann existiert zu jedem Paar offener
  (nichtleerer) Teilmengen
  $U,V$ von $X$ ein $n \in \N$, so dass $F^n(U) \cap V \ne \emptyset$ gilt.
  
\item Sei $(X,F)$ ein nichttriviales dynamisches System (d.~h. $X$ hat
  unendlich viele Punkte) mit einer dichten Bahn und $x_0$ periodisch.  Zeigen
  Sie, dass der Anziehungsbereich $\mathcal A(x_0):=\set{ x \in X}{\lim_{n \to
      \infty} d(F^n(x),\mathcal O(x_0))=0}$ der periodischen Bahn $\mathcal
  O(x_0)$ keine (nichtleere) offene Menge enthalten kann.
\end{enumerate}

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}
\pagebreak
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% Pr"asenzaufgaben
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% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


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\Praesenz

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\map F X X$ eine stetige Abbildung.
Weiter sei $\overline x$ ein $p$-periodischer Punkt und $\mathcal O(\overline
x) = \{ \overline x, F(\overline x), \dots, F^{p-1}(\overline x) \}$ der
zugeh"orige Orbit. Zeigen Sie, dass es zu jedem $x_0 \in \mathcal O(\overline
x)$ und jedem $k \in \N$ Zahlen $m,r \in \{0, \dots, p-1\}$ und $\ell \in \N$
gibt, so dass $F^m(x_0) = \overline x$ und $F^k(x_0)=(F^r \circ F^{\ell p}
\circ F^m)(x_0)$ gilt.

% (i) Vergegenw"artigen Sie sich die Definition, dass der $2$-periodische Punkt
% $\overline x$ \emph{anziehend} ist. (ii) Was bedeutet es (nach Definition),
% dass $\mathcal O(\overline x)=\{\overline x, F(\overline x) \}$ ein
% \emph{Attraktor} ist?  Wie k"onnte man von (i) nach (ii) kommen? Braucht man
% weitere Eigenschaften des dynamischen Systems $(F,X)$? Welche?

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
\begin{enumerate}
\item Gegeben sei die logistische Abbildung $F_\mu(x):=\mu x(1-x)$ auf
  $X=[0,1]$ mit $1 \le \mu < 3$.
  \begin{enumerate}
  \item Zeigen Sie im Fall $\mu=1$, dass $\lim_{n \to \infty} F_1^n(x)=0$ f"ur
    alle $x \in X$ gilt.
  \item Zeigen Sie, dass $\xi_\mu = 1 - 1/\mu$ ein anziehender Fixpunkt f"ur
    $1 < \mu < 3$ ist. \Hinweis{Mittelwertsatz!}
  \item Skizzieren Sie den Graphen von $F_\mu^2$ f"ur $2 < \mu < 3$.
  \end{enumerate}
\item Sei $\map F X X$ stetig und $F(\overline x)=\overline x$, und f"ur $x
  \in X$ gelte $\lim_{k \to \infty} F^{2k}(x) = \overline x$. Zeigen Sie, dass
  dann auch $\lim_{n \to \infty} F^n(x) = \overline x$ gilt.
\end{enumerate}

%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz 
Sei $\map F {[0,1]} \R$ die Zeltabbildung $F(x):=3x$ f"ur $0 \le x \le 1/2$
bzw. $F(x):=3-3x$ f"ur $1/2 < x \le 1$. Weiter sei
\begin{displaymath}
  \Lambda_n:=\set{ x \in [0,1]} {F^n(x) \in [0,1]}
  \quad \text{und} \quad
  \Lambda := \bigcap_{n \in\N} \Lambda_n.
\end{displaymath}
Veranschaulichen Sie sich die Konstruktion von $\Lambda_n$ und $\Lambda$ durch
eine Skizze. Verwenden Sie die Darstellung von $x \in [0,1]$ im terti"aren
Zahlensystem ($x = \sum_{i \in \N} x_i3^{-i}$, $x_i \in \{0,1,2\}$), und
"uberlegen Sie, wann $x \in \Lambda_n$ bzw.\ $x \in \Lambda$ gilt.

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% Bild ...
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\vspace{5mm}
\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \emph{``Just a darn minute! Yesterday you said $x$ equals
%  \underline{two}!''}
  \includegraphics[scale=0.7]
  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
  \parbox[b]{8cm}{\emph{The Red Queen shook her head. ``You may call it
      `nonsense' if you like,'' she said, ``but I've heard nonsense, compared
      with which that would be as sensible as a dictionary!''\\[5mm]
      {\footnotesize (aus
      "`Through the looking glass"' von Lewis Carroll)}}}
\end{center}


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\vfill

% \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
%   Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
%   80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
%   erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

