RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-11-06 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 3

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 9:

a) Für c ∈ ℂ sei das dynamische System (f_{c}, ℂ) mit f_{c}(z) := z^{2} + c gegeben. Bestimmen Sie die Fixpunkte und die 2-periodischen Punkte von f_{c} in Abhängigkeit vom Parameter c. Skizzieren Sie die Bereiche der Parameterebene, für die ein Fixpunkt oder ein 2-periodischer Punkt von f_{c} attraktiv ist. Hinweis: f_{c}^{2}(z) − z ist durch f_{c}(z) − z teilbar. Ein p-periodischer Punkt z_{0} ist anziehend, falls |(f_{c}^{p})′(z_{0})| < 1 gilt. Ferner ist (f_{c}^{2})′(z) = f′_{c}(f_{c}(z)) · f′_{c}(z).

b) Betrachten Sie die logistische Abbildung F_{μ}(x) = μx(1 − x) mit μ ≥ 1 für x ∈ X := ℝ. Mittels der affinen Abbildung z = Φ_{μ}(x) = μ(1/2 − x) erhält man die zu F_{μ} topologisch konjugierte Abbildung f(z) gemäß f = Φ_{μ} ∘ F_{μ} ∘ Φ_{μ}^{−1}. Bestimmen Sie c in Abhängigkeit von μ so, dass f(z) = z^{2} + c gilt, und übertragen Sie die Ergebnisse von Teil a) auf die logistische Abbildung (auf ℝ).

Aufgabe 10: Sei T: 𝕊^{1} ⟶ 𝕊^{1}, θ ↦ 2θ die Abbildung der Winkelverdoppelung auf dem Einheitskreis. Zeigen Sie (auf möglichst elementare Weise) die Dichtheit von Per T in 𝕊^{1}, die empfindliche Abhängigkeit vom Startwert und die Existenz eines dichten Orbits.

Aufgabe 11: Seien (F_{j}, X_{j}), j = 1, 2 zwei (diskrete) dynamische Systeme und Φ: X_{1} ⟶ X_{2} eine surjektive stetige Abbildung, die Φ ∘ F_{1} = F_{2} ∘ Φ erfüllt. Welche der Eigenschaften aus Präsenzaufgabe B gelten für (F_{2}, X_{2}), wenn sie für (F_{1}, X_{1}) gelten?

Aufgabe 12: Sei F: I ⟶ I eine stetige und stückweise differenzierbare Abbildung auf einem Intervall I. Der Lyapunov-Exponent λ (�������) ist definiert durch

λ := lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=0}^{n−1} log |F′(F^{i}(x_{0}))|,

falls dieser Grenzwert für x_{0} ∈ I existiert.

a) Berechnen Sie λ = λ(x_{0}) für einen p-periodischen Punkt x_{0}.

b) Sei x_{0} ein p-periodischer anziehender Punkt. Welches Vorzeichen hat λ = λ(x_{0})?

c) Berechnen Sie λ für die Zeltabbildung F_{r} gegeben durch

F_{r}(x) := \begin{cases}rx, & 0 ≤ x ≤ 1/2 \\ r(1 − x), & 1/2 < x ≤ 1 \end{cases}

für 0 ≤ r ≤ 2 und x_{0} ∈ I := [0, 1], so dass F′(F^{i}(x_{0})) für alle i ∈ ℕ definiert ist.

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

Präsenzaufgabe A: Sei F: I ⟶ I eine differenzierbare Abbildung auf einem offenen Intervall I (oder auf einer offenen Teilmenge von ℂ). Berechnen Sie die Ableitung der k-ten Iterierten F^{k} an der Stelle z für die folgenden Fälle:

a) z ist ein Fixpunkt.

b) z ist ein k-periodischer Punkt.

Präsenzaufgabe B: Seien (F_{j}, X_{j}), j = 1, 2 zwei (diskrete) dynamische Systeme und Φ: X_{1} ⟶ X_{2} eine Homöomorphismus, der Φ ∘ F_{1} = F_{2} ∘ Φ erfüllt. Welche der folgenden Eigenschaften von (F_{1}, X_{1}) gelten unter der topologischer Konjugation mit Φ auch in (F_{2}, X_{2})?

a) \overline{x}_{1} ist p-periodischer Punkt.

b) \overline{x}_{1} hat Primperiode p.

c) Anzahl der p-periodischen Punkte

d) \overline{x}_{1} ist anziehender p-periodischer Punkt. Hinweis: Übertragen Sie die für metrische Räume gegebene Definition eines anziehenden periodischen Punktes auf topologische Räume.

e) Dichtheit der periodischen Orbits

f) Existenz eines dichten Orbits

Präsenzaufgabe C: Der Lyapunov-Exponent λ ist ein quantitatives Maß für die empfindliche Abhängigkeit vom Anfangswert. Sei F: I ⟶ I eine differenzierbare Abbildung auf einem Intervall I. Weiter sei δ_{n} := F^{n}(x_{0} + δ_{0}) − F^{n}(x_{0}) die Abweichung nach n Schritten. Näherungsweise gilt dann für den Lyapunov-Exponenten die Beziehung |δ_{n}| ≈ |δ_{0}|e^{nλ}. Folgern Sie aus dieser Gleichung, dass

λ ≈ \frac{1}{n} ∑_{i=0}^{n−1} log |F′(F^{i}(x_{0}))|

näherungsweise gilt.

Die logistische Abbildung F_{μ}(x) = μx(1 − x) und die zweite Iterierte F_{μ}^{2}(x) jeweils für μ = 2 (links), μ = 2.5 (mitte) und μ = 3 (rechts) (siehe Aufgabe 6).