%----------------------------------------------------------------------
% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 03
% 2002-11-05 (Beginn)
% 2002-11-05 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{german,a4,amsfonts,eucal,amssymb,amsmath}
%\usepackage{rawfonts,pictex,tabularx}
% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.

%\usepackage{times}               
%\usepackage{mathptm}
\setlength{\marginparsep}{3pt}

% f"ur kyrillische Schrift
\usepackage[OT2,OT1]{fontenc}
\newcommand\cyr{%
  \renewcommand\rmdefault{wncyr}%
  \renewcommand\sfdefault{wncyss}%
  \renewcommand\encodingdefault{OT2}%
  \normalfont
  \selectfont}
\DeclareTextFontCommand{\textcyr}{\cyr}


%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
%----------------------------------------------------------------------

\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-11-06}
\newcommand{\blattnr}{3}
\newcommand{\aufgabennr}{9}    % erste Aufgabennr.

%----------------------------------------------------------------------



%----------------------------------------------------------------------
% Format"anderungen
%----------------------------------------------------------------------

\sloppy
\frenchspacing
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.5cm}
\setlength{\textwidth}{16.9cm}
\setlength{\textheight}{25.0cm}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{4pt plus 1pt minus 2pt}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\setcounter{topnumber}{1}
\setcounter{bottomnumber}{2}
\setcounter{totalnumber}{3}
\renewcommand{\topfraction}{0.5}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.5}
\renewcommand{\textfraction}{0.1}
\setlength{\textfloatsep}{0.5cm}


\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Sphere}{\ensuremath{\mathbb{S}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item F"ur $c \in \C$ sei das dynamische System $(f_c,\C)$ mit $f_c(z):=z^2+c$
  gegeben. Bestimmen Sie die Fixpunkte und die $2$-periodischen Punkte von
  $f_c$ in Abh"angigkeit vom Parameter $c$. Skizzieren Sie die Bereiche der
  Parameterebene, f"ur die ein Fixpunkt oder ein $2$-periodischer Punkt von
  $f_c$ attraktiv ist. \Hinweis{$f_c^2(z)-z$ ist durch $f_c(z)-z$ teilbar. Ein
    $p$-periodischer Punkt $z_0$ ist anziehend, falls $|(f_c^p)'(z_0)|<1$
    gilt. Ferner ist $(f_c^2)'(z)=f_c'(f_c(z)) \cdot f_c'(z)$.}
\item Betrachten Sie die logistische Abbildung $F_\mu(x)=\mu x(1-x)$ mit $\mu
  \ge 1$ f"ur $x \in X:=\R$. Mittels der affinen Abbildung
  $z=\Phi_\mu(x)=\mu(1/2-x)$ erh"alt man die zu $F_\mu$ topologisch
  konjugierte Abbildung $f(z)$ gem"a"s $f= \Phi_\mu \circ F_\mu \circ
  \Phi_\mu^{-1}$. Bestimmen Sie $c$ in Abh"angigkeit von $\mu$ so, dass
  $f(z)=z^2+c$ gilt, und "ubertragen Sie die Ergebnisse von Teil a) auf
  die logistische Abbildung (auf $\R$). 
\end{enumerate}
%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Sei $\map T {\Sphere^1}{\Sphere^1}$, $\theta \mapsto 2\theta$ die Abbildung
der Winkelverdoppelung auf dem Einheitskreis. Zeigen Sie (auf m"oglichst
elementare Weise) die Dichtheit von $\Per T$ in $\Sphere^1$, die empfindliche
Abh"angigkeit vom Startwert und die Existenz eines dichten Orbits.

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Seien $(F_j,X_j)$, $j=1,2$ zwei (diskrete) dynamische Systeme und
$\map \Phi {X_1} {X_2}$ eine \emph{surjektive} stetige Abbildung, die $\Phi
\circ F_1 = F_2 \circ \Phi$ erf"ullt. Welche der Eigenschaften aus
Pr"asenzaufgabe~B gelten f"ur $(F_2,X_2)$, wenn sie f"ur $(F_1,X_1)$ gelten?


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Sei $\map F I I$ eine stetige und st"uckweise differenzierbare
Abbildung auf einem Intervall $I$. Der \emph{Lyapunov-Exponent} $\lambda$
({\cyr Lyapunov}) ist definiert durch
\begin{displaymath}
  \lambda := \lim_{n \to \infty} \frac 1 n \sum_{i=0}^{n-1} \log
  |F'(F^i(x_0))|,
\end{displaymath}
falls dieser Grenzwert f"ur $x_0 \in I$ existiert.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie $\lambda=\lambda(x_0)$ f"ur einen $p$-periodischen Punkt
  $x_0$.
\item Sei $x_0$ ein $p$-periodischer \emph{anziehender} Punkt. Welches
  Vorzeichen hat $\lambda=\lambda(x_0)$?
\item Berechnen Sie $\lambda$ f"ur die Zeltabbildung $F_r$ gegeben durch
\begin{displaymath}
  F_r(x):=
  \begin{cases}
    rx, & 0 \le x  \le 1/2\\
    r(1-x), & 1/2 < x \le 1 
  \end{cases}
\end{displaymath}
f"ur $0 \le r \le 2$ und $x_0 \in I:=[0,1]$, so dass $F'(F^i(x_0))$ f"ur alle
$i \in \N$ definiert ist.
\end{enumerate}


\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz Sei $\map F I I$ eine differenzierbare Abbildung auf einem offenen
Intervall $I$ (oder auf einer offenen Teilmenge von $\C$). Berechnen Sie die
Ableitung der $k$-ten Iterierten $F^k$ an der Stelle $z$ f"ur die folgenden
F"alle:

\hspace*{3ex} a) $z$ ist ein Fixpunkt.\\
\hspace*{3ex} b) $z$ ist ein $k$-periodischer Punkt.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Seien $(F_j,X_j)$, $j=1,2$ zwei (diskrete) dynamische Systeme und $\map \Phi
{X_1} {X_2}$ eine Hom"oomorphismus, der $\Phi \circ F_1 = F_2 \circ \Phi$
erf"ullt. Welche der folgenden Eigenschaften von $(F_1,X_1)$ gelten unter
der topologischer Konjugation mit $\Phi$ auch in $(F_2,X_2)$?
\begin{enumerate}

\item $\overline x_1$ ist $p$-periodischer Punkt.
\item $\overline x_1$ hat \emph{Prim}periode $p$.
\item Anzahl der $p$-periodischen Punkte
\item $\overline x_1$ ist \emph{anziehender} $p$-periodischer Punkt.
  \Hinweis{"Ubertragen Sie die f"ur metrische R"aume gegebene Definition eines
    anziehenden periodischen Punktes auf topologische R"aume.}
\item Dichtheit der periodischen Orbits
\item Existenz eines dichten Orbits
\end{enumerate}
%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz Der Lyapunov-Exponent $\lambda$ ist ein quantitatives Ma"s f"ur die
empfindliche Abh"angigkeit vom Anfangswert. Sei $\map F I I$ eine
differenzierbare Abbildung auf einem Intervall $I$. Weiter sei
$\delta_n:=F^n(x_0+\delta_0)-F^n(x_0)$ die Abweichung nach $n$ Schritten.
N"aherungsweise gilt dann f"ur den Lyapunov-Exponenten die Beziehung
$|\delta_n| \approx |\delta_0| \e^{n \lambda}$.  Folgern Sie aus dieser
Gleichung, dass
\begin{displaymath}
  \lambda \approx \frac 1 n \sum_{i=0}^{n-1} \log |F'(F^i(x_0))|
\end{displaymath}
n"aherungsweise gilt.

\vspace{1cm}
%\enlargethispage*{2cm}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.3]
  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt03-log2.eps} \quad
  \includegraphics[scale=0.3]
  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt03-log2.5.eps} \quad
  \includegraphics[scale=0.3]
  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt03-log3.eps} \quad
%   \parbox[b]{8cm}{\emph{The Red Queen shook her head. ``You may call it
%       `nonsense' if you like,'' she said, ``but I've heard nonsense, compared
%       with which that would be as sensible as a dictionary!''\\[5mm]
%       {\footnotesize (aus
%       "`Through the looking glass"' von Lewis Carroll)}}}
   \parbox[b]{14cm}{Die logistische Abbildung $F_\mu(x)=\mu x(1-x)$ und die
   zweite Iterierte $F^2_\mu(x)$ jeweils f"ur $\mu=2$ (links), $\mu=2.5$
   (mitte) und $\mu=3$ (rechts) (siehe
   Aufgabe~6).}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

