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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 03
% 2002-11-05 (Beginn)
% 2002-11-05 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.

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% f"ur kyrillische Schrift
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  \renewcommand\sfdefault{wncyss}%
  \renewcommand\encodingdefault{OT2}%
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  \selectfont}
\DeclareTextFontCommand{\textcyr}{\cyr}
 

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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-11-13}
\newcommand{\blattnr}{4}
\newcommand{\aufgabennr}{13}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Sei $\map F {[1,5]} {[1,5]}$ durch den Polygonzug mit St"utzstellen $F(1)=3$,
$F(2)=5$, $F(3)=4$, $F(4)=2$ und $F(5)=1$ definiert. Zeigen Sie, dass diese
Abbildung periodische Punkte aller Primperioden $p$ au"ser $p=3$ besitzt.
\Hinweis{Satz von \v Sarkovskij {\textcyr{(Sharkovski\u i)}}.}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Sei $\map F I I$ eine stetige Abbildung auf dem abgeschlossenen Intervall $I
\subset \R$, die einen Punkt mit Primperiode $4$ besitzt. Zeigen Sie, dass $F$
dann auch einen Punkt mit Primperiode $2$ und einen Fixpunkt hat.
\Hinweis{Stellen Sie f"ur jede M"oglichkeit aus Pr"asenzaufgabe~B den
  Markov-Graphen zu den Intervallen $I_1:=[x_1,x_2]$, $I_2:=[x_2,x_3]$ und
  $I_3:=[x_3,x_4]$ dar.}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Sei $\map {F}{\R \times \R^n}{\R^n}$, $(\lambda,x) \mapsto F_\lambda(x)$
stetig differenzierbar, und sei $x_0 \in \R^n$ ein hyperbolischer Fixpunkt von
$F_{\lambda_0}$ (d.~h. kein Eigenwert der Ableitungsmatrix $D_x
F_{\lambda_0}(x_0)$ hat Absolutbetrag $1$). Zeigen Sie, dass f"ur jedes $m \in
\N$ eine Umgebung $U$ von $x_0$ und ein offenes Intervall $I$ um $\lambda_0$
existiert, so dass $F^m_\lambda$ f"ur $\lambda \in I$ genau einen Fixpunkt $x$
in $U$ besitzt.


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Untersuchen Sie die Fixpunkte der Abbildung $\map {F_\lambda} \R \R$, $x
\mapsto \lambda + x + x^2$ in Abh"angigkeit von $\lambda \in \R$ (Anzahl und
Stabilit"at). Stellen Sie Ihre Ergebnisse in einem Verzweigungsdiagramm dar.




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% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Sei $\map F X X$ eine stetige Abbildung auf dem metrischen Raum $(X,d)$ mit
einem $n$-periodischen Punkt $x_0 \in X$. Zeigen Sie, dass die Primperiode $p$
von $x_0$ ein Teiler von $n$ ist.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Sei $\map F I I$ eine stetige Abbildung auf dem abgeschlossenen Intervall $I
\subset \R$, die einen Punkt $x^*$ mit Primperiode $4$ besitzt.  Sei $x_1 <
x_2 < x_3 < x_4$ die Bahn von $x^*$ unter $F$. Geben Sie alle M"oglichkeiten
f"ur das Quadrupel $(F(x_1), F(x_2), F(x_3),F(x_4))$ an.  \Hinweis{Es gibt
  sechs M"oglichkeiten}.


%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
%\Praesenz



%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



\vspace*{\fill}
%\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}

 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

%\pagebreak
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

