RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-11-20 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 5

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 17: Seien U, V zwei offene Intervalle und 0 ∈ V. Weiter sei G ∈ C^{2}(U × V) mit G(λ, 0) = 0 für alle λ ∈ U. Zeigen Sie, dass

H(λ, x) := \frac{G(λ, x)}{x}

stetig ergänzbar bei x_{0} = 0 ist und das die Ergänzung in C^{1}(U × V) liegt.

Aufgabe 18: Untersuchen Sie alle Fixpunkte und periodischen Punkte (Anzahl, Stabilität) der Abbildung F_{λ}: ℝ ⟶ ℝ, x ↦ λ arctan(x) in Abhängigkeit von λ ∈ ℝ. Stellen Sie Ihre Ergebnisse in einem Verzweigungsdiagramm dar. Hinweis: Beachten Sie die Symmetrie in x und λ! Zeigen Sie, dass F_{λ}^{n} für λ > 0 strikt konkav auf (0, ∞) ist. Folgern Sie daraus, dass F_{λ} genau einen n-periodischen Punkt in (0, ∞) hat, wenn (F_{λ}^{n})′(0) > 1 gilt bzw. keinen nperiodischen Punkt in (0, ∞) hat, wenn (F_{λ}^{n})′(0) ≤ 1 gilt.

Präsenzaufgabe A: Zeigen Sie, dass ∂_{λ}H(λ, 0) = ∂_{λ}∂_{x}G(λ, 0) für die in Aufgabe 17 gegebene Funktion G und die stetig ergänzte Funktion H gilt.

Präsenzaufgabe B: Sei f ∈ C^{2}(ℝ) strikt positiv, strikt konkav auf (0, ∞) (also f(x) > 0 und f′′(x) < 0 für alle x > 0) und beschränkt mit f(0) = 0. Zeigen Sie:

a) (i) f′(0) > 0, (ii) f ist streng monoton steigend auf (0, ∞), (iii) f′ streng monoton fallend auf (0, ∞), (iv) lim_{x→∞} f′(x) = 0.

b) Zeigen Sie, dass die n-te Iterierte f^{n} ebenfalls strikt konkav ist. Hinweis: Versuchen Sie, die Konkavität durch die erste Ableitung auszudrücken.

Präsenzaufgabe C: Sei I := (−a, a) und F = F_{λ}: I ⟶ I eine ungerade Funktion in x (d. h. F (−x) = −F (x)). Zeigen Sie:

a) 0 ist Fixpunkt von F.

b) Ist x ∈ I ein k-periodischer Punkt, so ist −x ebenfalls k-periodisch.

c) Ist x ≠ 0 ein k-primperiodischer Punkt, so ist −x ebenfalls k-primperiodisch.

d) Sei F stetig differenzierbar. Ist x ein k-periodischer stabiler (instabilier) Punkt, so gilt dies auch für −x.

Sei nun zusätzlich F_{λ} ungerade in λ, d. h. F_{−λ}(x) = −F_{λ}(x), λ ∈ J := (−b, b).

e) Ist x ein k-periodischer Punkt für F_{λ}, so ist x ein k-periodischer (2k-per.) Punkt für F_{−λ}, falls k gerade (ungerade) ist. Überträgt sich die Stabilität?

f) Sei x ≠ 0 primperiodisch mit Periode k bezüglich F_{λ}. Ist k ungerade, so ist x primperiodisch mit Periode 2k bezüglich F_{−λ}. Ist k durch 4 teilbar, so hat x die Primperiode k (siehe auch Präsenzaufgabe A, Blatt 4). Was ist, wenn k ≡ 2 mod 4 ist? (Beispiel: F_{λ}(x) := λx, λ = −1)

g) Wie können Sie also die Untersuchung einer Funktion F_{λ} mit allen zuvor genannten Eigenschaften vereinfachen?

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html