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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 05
% 2002-11-05 (Beginn)
% 2002-11-30 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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% f"ur kyrillische Schrift
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  \renewcommand\encodingdefault{OT2}%
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  \selectfont}
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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-11-20}
\newcommand{\blattnr}{5}
\newcommand{\aufgabennr}{17}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
%----------------------------------------------------------------------

\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
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\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}

 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\vspace*{-7mm}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Seien $U, V$ zwei offene Intervalle und $0 \in V$. Weiter sei $G \in C^2(U
\times V)$ mit $G(\lambda,0)=0$ f"ur alle $\lambda \in U$. Zeigen Sie, dass
\begin{displaymath}
  H(\lambda, x) := \frac{G(\lambda,x)} x
\end{displaymath}
stetig erg"anzbar bei $x_0=0$ ist und das die Erg"anzung in $C^1(U \times V)$
liegt.
%\Hinweis{Zeigen Sie, dass die partiellen Ableitungen stetig sind.}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Untersuchen Sie alle Fixpunkte und periodischen Punkte (Anzahl,
Stabilit"at) der Abbildung $\map {F_\lambda} \R \R$, $x \mapsto \lambda
\arctan(x)$ in Abh"angigkeit von $\lambda \in \R$. Stellen Sie Ihre Ergebnisse
in einem Verzweigungsdiagramm dar.  \Hinweis{Beachten Sie die Symmetrie in $x$
  und $\lambda$! Zeigen Sie, dass $F^n_\lambda$ f"ur $\lambda>0$ strikt konkav
  auf $(0,\infty)$ ist. Folgern Sie daraus, dass $F_\lambda$ genau einen
  $n$-periodischen Punkt in $(0,\infty)$ hat, wenn $(F^n_\lambda)'(0) > 1$
  gilt bzw. keinen $n$-periodischen Punkt in $(0,\infty)$ hat, wenn
  $(F^n_\lambda)'(0) \le 1$ gilt.}


% \vspace*{\fill}
% \hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}



%\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Zeigen Sie, dass $\partial_\lambda H(\lambda,0)=\partial_\lambda \partial_x
G(\lambda,0)$ f"ur die in Aufgabe~17 gegebene Funktion $G$ und die stetig
erg"anzte Funktion $H$ gilt.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz Sei $f \in C^2(\R)$ strikt positiv, strikt konkav auf $(0,\infty)$
(also $f(x)>0$ und $f''(x)<0$ f"ur alle $x>0$) und beschr"ankt mit $f(0)=0$.
Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item (i) $f'(0)>0$, \quad (ii) $f$ ist streng monoton steigend auf
  $(0,\infty)$, \quad (iii) $f'$ streng monoton fallend auf $(0,\infty)$,
  \quad (iv) $\lim_{x \to \infty} f'(x)=0$.
\item Zeigen Sie, dass die $n$-te Iterierte $f^n$ ebenfalls strikt konkav ist.
  \Hinweis{Versuchen Sie, die Konkavit"at durch die erste Ableitung
    auszudr"ucken.}
\end{enumerate}
\enlargethispage*{3cm}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Sei $I:=(-a,a)$ und $\map {F=F_\lambda} I I$ eine ungerade Funktion in $x$
(d.~h. $F(-x)=-F(x)$). Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item $0$ ist Fixpunkt von $F$.
\item Ist $x \in I$ ein $k$-periodischer Punkt, so ist $-x$ ebenfalls
  $k$-periodisch.
\item Ist $x \ne 0$ ein $k$-\emph{prim}periodischer Punkt, so ist $-x$
  ebenfalls $k$-\emph{prim}periodisch.
\item Sei $F$ stetig differenzierbar. Ist $x$ ein $k$-periodischer
  \emph{stabiler (instabilier)} Punkt, so gilt dies auch f"ur $-x$.
\end{enumerate}
Sei nun zus"atzlich $F_\lambda$ ungerade in $\lambda$,
d.~h. $F_{-\lambda}(x)=-F_\lambda(x)$, $\lambda \in J:=(-b,b)$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4}
\item Ist $x$ ein $k$-periodischer Punkt f"ur $F_\lambda$, so ist $x$ ein
  $k$-periodischer ($2k$-per.) Punkt f"ur $F_{-\lambda}$, falls $k$ gerade
  (ungerade) ist. "Ubertr"agt sich die Stabilit"at?
\item Sei $x \ne 0$ \emph{prim}periodisch mit Periode $k$ bez"uglich
  $F_\lambda$. Ist $k$ ungerade, so ist $x$ \emph{prim}periodisch mit Periode
  $2k$ bez"uglich $F_{-\lambda}$. Ist $k$ durch $4$ teilbar, so hat $x$ die
  \emph{Prim}periode $k$ (siehe auch Pr"asenzaufgabe~A, Blatt~4). Was ist,
  wenn $k \equiv 2 \mod 4$ ist? (Beispiel: $F_\lambda(x):=\lambda x$,
  $\lambda=-1$)
\item Wie k"onnen Sie also die Untersuchung einer Funktion $F_\lambda$ mit
  allen zuvor genannten Eigenschaften vereinfachen?
\end{enumerate}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

