RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-11-27 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 6

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 19: Sei F_{μ}(x) := μx(1 − x), 1 ≤ μ ≤ 4, die logistische Abbildung auf [0, 1]. Weisen Sie mittels des Satzes aus der Vorlesung nach, dass bei μ = 3 eine Periodenverdopplung auftritt.

Aufgabe 20: Klassifizieren Sie das lokale Bifurkationsverhalten folgender Abbildungen in der Nähe der angegebenen Parameterwerte und diskutieren Sie die Stabilität der entsprechenden Fixpunkte (bzw. 2-periodischen Punkte):

a) Q_{λ}(x) := λ + x^{2}, λ_{0} = 1/4

b) F_{λ}(x) := λ sinh(x), λ_{0} = 1 bzw. λ_{0} = −1

c) F_{λ}(x) := x^{2} + sin(λx), λ_{0} = 1, x_{0} = 0.

Aufgabe 21: Für eine stetige Abbildung F: X ⟶ X eines metrischen Raumes X in sich selbst definieren wir die Menge der periodischen (rekurrenten bzw. nichtwandernden) Punkte von F durch

Per(F) := {x ∈ X | ∃n ∈ ℕ : F^{n}(x) = x}
Rec(F) := {x ∈ X | ∀U ∈ 𝒰(x) ∃n > 0 : F^{n}(x) ∈ U}
Nwa(F) := {x ∈ X | ∀U ∈ 𝒰(x) ∃n > 0, x̃ ∈ U : F^{n}(x̃) ∈ U},

wobei 𝒰(x) die Menge der Umgebungen von x bezeichnet. Zeigen Sie folgende Eigenschaften:

a) Per(F), Rec(F) und Nwa(F) sind invariant unter F. (Eine Menge M ⊂ X ist invariant unter F, wenn F (M) ⊂ M gilt.)

b) Rec(F) = {x ∈ X | es existiert Teilfolge (F^{n_{k}}(x))_{k} von (F^{n}(x))_{n} mit lim_{k→∞} F^{n_{k}}(x) = x}

c) Nwa(F) ist abgeschlossen.

d) Für die logistische Abbildung F_{μ} mit μ > 2+\sqrt{5} gilt Nwa(F_{μ}) = Λ, Rec(F_{μ})\Per(F_{μ}) ≠ ∅ und Nwa(F_{μ}) \ Rec(F_{μ}) ≠ ∅.

Aufgabe 22: Sei F: I ⟶ I eine stetig differenzierbare Intervallabbildung, Zeigen Sie, dass nichtentartete homokline Punkte zwar nichtwandernd, aber nicht rekurrent sind (siehe Aufgabe 21). Was kann bei entarteten homoklinen Punkten passieren, insbesondere wenn F auf einem Teilintervall konstant ist? Zeigen Sie, dass die logistische Abbildung F_{μ}(x) = μx(1 − x) für μ > 4 (bzw. μ > 2 + \sqrt{5}) unendlich viele homokline Orbits besitzt. Gibt es für μ > 4 auch entartete homokline Orbits? Gibt es (entartete/nichtentartete) homokline Orbits für μ = 4?

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

Präsenzaufgabe A: Sei F_{μ}(x) = μx(1 − x) die logistische Abbildung auf ℝ. Untersuchen Sie die Bifurkation bei μ = 1.

Präsenzaufgabe B:

(i) Zeigen Sie die Inklusionen Per(F) ⊂ Rec(F) ⊂ Nwa(F) für die in Aufgabe 21 definierten Mengen.

(ii) Das dynamische System (X, F) sei topologisch transitiv (d. h. es existiert ein dichter Orbit) und X habe keine diskreten Punkte (d. h. in jeder Umgebung von x ∈ X gibt es außer x noch mindestens einen weiteren Punkt). Zeigen Sie, dass dann Nwa(F) = X gilt.

(iii) Sei X = 𝕊^{1} = ℝ/ℤ und F (x) ≡ x + θ( mod 1) für ein θ ∈ [0, 1). Diskutieren Sie für unterschiedliche Werte von θ die Mengen Per(F), Rec(F) und Nwa(F) aus Aufgabe 21.

Präsenzaufgabe C: Zeigen Sie, dass die Intervallabbildung f(z) = z^{2} − 2, z ∈ [−2, 2], einen entarteten homoklinen Punkt hat. Hinweis: Sei z_{0} ein Fixpunkt mit |f′(z_{0})| > 1. Ein abstoßendes Intervall um z_{0} lässt sich mittels |f′(z)| ≥ q > 1 oder anhand der Ungleichung |f(z) − z_{0}| > |z − z_{0}| bestimmen.