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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 06
% 2002-11-26 (Beginn)
% 2002-11-26 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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% f"ur kyrillische Schrift
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%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung\\"`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-11-27}
\newcommand{\blattnr}{6}
\newcommand{\aufgabennr}{19}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
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\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Sphere}{\ensuremath{\mathbb{S}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}
\DeclareMathOperator{\Rec} {Rec}
\DeclareMathOperator{\Nwa} {Nwa}

\newcommand{\hfills}{\hspace*{\fill}}
 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Sei $F_\mu(x):=\mu x(1-x)$, $1 \le \mu \le 4$, die logistische Abbildung auf
$[0,1]$. Weisen Sie mittels des Satzes aus der Vorlesung nach, dass bei $\mu =
3$ eine Periodenverdopplung auftritt.

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Klassifizieren Sie das \emph{lokale} Bifurkationsverhalten folgender
Abbildungen in der N"ahe der angegebenen Parameterwerte und diskutieren Sie
die Stabilit"at der entsprechenden Fixpunkte (bzw. $2$-periodischen Punkte):
\begin{enumerate}
\item $Q_\lambda(x):=\lambda + x^2$, $\lambda_0 = 1/4$
\item $F_\lambda(x):=\lambda \sinh(x)$, $\lambda_0 = 1$ bzw.\  $\lambda_0 =
  -1$
\item $F_\lambda(x):=x^2 + \sin(\lambda x)$, $\lambda_0 = 1$, $x_0=0$.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
F"ur eine stetige Abbildung $\map F X X$ eines metrischen Raumes $X$ in sich
selbst definieren wir die Menge der \emph{periodischen} (\emph{rekurrenten}
bzw.\ \emph{nichtwandernden}) Punkte von $F$ durch
\begin{align*}
  \Per(F) & := \set{x \in X}{\; \exists n \in \N: \quad F^n(x)=x }\\
  \Rec(F) & := \set{x \in X}
    {\;\forall U \in \mathcal U(x) \,\; \exists n>0: \quad F^n(x) \in U}\\
  \Nwa(F) & := \set{x \in X}
    {\;\forall U \in \mathcal U(x) \,\; \exists n>0, \tilde x \in U: \quad
  F^n(\tilde x) \in U},
\end{align*}
wobei $\mathcal U(x)$ die Menge der Umgebungen von $x$ bezeichnet.  Zeigen Sie
folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $\Per(F)$, $\Rec(F)$ und $\Nwa(F)$ sind invariant unter $F$. (Eine Menge
  $M \subset X$ ist \emph{invariant unter $F$}, wenn $F(M) \subset M$ gilt.)
\item $\Rec(F) = \set{x \in X}{\; \text{es existiert Teilfolge
      $(F^{n_k}(x))_k$ von $(F^n(x))_n$ mit $\lim_{k \to \infty}F^{n_k}(x) =
    x$}}$
\item $\Nwa(F)$ ist abgeschlossen.
\item F"ur die logistische Abbildung $F_\mu$ mit $\mu > 2 + \sqrt 5$ gilt
  $\Nwa(F_\mu) = \Lambda$, $\Rec(F_\mu) \setminus \Per (F_\mu) \ne \emptyset$
  und $\Nwa(F_\mu) \setminus \Rec (F_\mu) \ne \emptyset$.
\end{enumerate}



%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Sei $\map F I I$ eine stetig differenzierbare Intervallabbildung, Zeigen Sie,
dass nichtentartete homokline Punkte zwar nichtwandernd, aber nicht rekurrent
sind (siehe Aufgabe~21). Was kann bei entarteten homoklinen Punkten passieren,
insbesondere wenn $F$ auf einem Teilintervall konstant ist?

Zeigen Sie, dass die logistische Abbildung $F_\mu(x) = \mu x (1-x)$ f"ur
$\mu>4$ (bzw. $\mu > 2 + \sqrt 5$) unendlich viele homokline Orbits
besitzt. Gibt es f"ur $\mu > 4$ auch entartete homokline Orbits? Gibt es
(entartete/nichtentartete) homokline Orbits f"ur $\mu = 4$?


\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Sei $F_\mu(x) = \mu x (1-x)$ die logistische Abbildung auf $\R$. Untersuchen
Sie die Bifurkation bei $\mu = 1$.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie die Inklusionen $\Per (F) \subset \Rec (F) \subset \Nwa (F)$
  f"ur die in Aufgabe~21 definierten Mengen.
\item Das dynamische System $(X,F)$ sei topologisch transitiv (d.~h.\ es
  existiert ein dichter Orbit) und $X$ habe keine diskreten Punkte (d.~h.\ in
  jeder Umgebung von $x \in X$ gibt es au"ser $x$ noch mindestens einen
  weiteren Punkt). Zeigen Sie, dass dann $\Nwa (F) = X$ gilt.
\item Sei $X=\Sphere^1=\R/\Z$ und $F(x) \equiv x+\theta (\mod 1)$ f"ur ein
  $\theta \in [0,1)$. Diskutieren Sie f"ur unterschiedliche Werte von $\theta$
  die Mengen $\Per (F)$, $\Rec (F)$ und $\Nwa (F)$ aus Aufgabe~21.
\end{enumerate}

%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Zeigen Sie, dass die Intervallabbildung $f(z) = z^2-2$, $z \in [-2,2]$, einen
entarteten homoklinen Punkt hat. \Hinweis{Sei $z_0$ ein Fixpunkt mit
  $|f'(z_0)| > 1$. Ein absto"sendes Intervall um $z_0$ l"asst sich mittels
  $|f'(z)| \ge q > 1$ oder anhand der Ungleichung $|f(z) - z_0| > |z - z_0|$
  bestimmen.}


%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

