RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-12-04 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 7

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 23: Sei f(x) = αx^{3} + 3βx^{2} + γx + δ, α ≠ 0. Zeigen Sie, dass es einen Diffeomorphismus Φ(y) = x gibt, so dass ẋ = f(x) differenzierbar konjugiert zu ẏ = g(y) mit g(y) = ±y^{3} + dy + c ist. Bestimmen Sie das Vorzeichen sowie c und d in Abhängigkeit von α, β, γ und δ. Hinweis: Φ ist eine affine Transformation.

Aufgabe 24: Gegeben sei die eindimensionale autonome Differentialgleichung ẋ = f(x) auf dem offenen Intervall U ⊂ ℝ, wobei f: U ⟶ ℝ stetig mit f(x) ≠ 0 für alle x ∈ U (f muss nicht notwendig Lipschitzstetig sein).

a) Zeigen Sie, dass ein lokaler Existenz- und Eindeutigkeitssatz gilt (sogar für die Differentialgleichung ẋ = h(t)f(x) mit stetiger Funktion h).

b) Sei I = [a, b] ⊂ U ein kompaktes Intervall. Zeigen Sie, dass jede Lösung der autonomen DGl eine maximale Verweilzeit hat, d. h., es gibt ein T (I) > 0 so dass für jeden Anfangswert x_{0} ∈ I Zeiten t_{±} = t_{±}(x_{0}) mit |t_{±}| < T (I) existieren, so dass die Lösung für alle t_{−} < t < t_{+} existiert aber x(t_{±}) ∉ (a, b) gilt.

c) Machen Sie sich durch ein einfaches Beispiel klar (graphisch oder analytisch), dass in Dimensionen größer als 1 eine Aussage wie in b) im Allgemeinen nicht richtig ist (d. h. ein Kompaktum K mit f(x) ≠ 0 wird möglicherweise nicht verlassen).

Aufgabe 25: Für m > 0 betrachten wir die einparametrige Familie f_{λ}(x) = λ + (1 + mλ)x − x^{3}. Skizzieren Sie das Bifurkationsdiagramm der Differentialgleichung ẋ = f_{λ}(x) für die Fälle m > 1, m = 1 und 0 < m < 1, d. h.

a) zeichnen Sie die Gleichgewichtslagen \overline{x} in einem Diagramm mit \overline{x} über λ ein, und kennzeichnen Sie die Stabilität;

b) skizzieren Sie den Graphen von f_{λ} und das zugehörige (eindimensionale) Vektorfeld jeweils für die strukturell stabilen λ-Intervalle und für die Bifurkationspunkte.

Hinweis: In der Vorlesung wurde f(x) = c + dx − x^{3} untersucht. Die Familie f_{λ} entspricht einer durch λ parametrisierten Geraden in der (c, d)-Ebene.

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

Aufgabe 26: Das Wachstum einer Population x = x(t) ≥ 0 sei logistisch (Wachstumsrate k > 0, Dämpfung durch Überpopulation c > 0). Zusätzlich werde ein Teil der Population entnommen (gejagt oder geerntet, ”harvested“, Parameter h > 0). Man sagt, dass die Population ausstirbt, falls eine (endliche) Zeit t mit x(t) = 0 existiert.

(i) Konstante Entnahmerate: Die Population verhalte sich gemäß der Differentialgleichung ẋ = kx − cx^{2} − h. Zeigen Sie, dass für eine kleine Entnahmerate 0 < h ≤ k^{2}/(4c) ein Schwellenwert \overline{x}_{0} existiert, so dass für einen Anfangswert oberhalb von \overline{x}_{0} die Population gegen eine Gleichgewichtslage konvergiert bzw. für einen Anfangswert unterhalb von \overline{x}_{0} ausstirbt. Zeigen Sie außerdem, dass die Population immer ausstirbt, wenn h > k^{2}/(4c) gilt, wenn also zuviel entnommen wird.

(ii) Proportionale Entnahmerate: Die Population verhalte sich gemäß der Differentialgleichung ẋ = kx − cx^{2} − hx. Zeigen Sie, dass für eine große Entnahmerate h > k die Population unabhängig vom Anfangswert gegen 0 konvergiert, aber in endlicher Zeit nicht ausstirbt. Was passiert im Fall h ≤ k?

Hinweis: Sie können die Aufgabe auch bearbeiten, ohne die Lösungen der Differentialgleichungen explizit zu berechnen.

Präsenzaufgabe A: Sei f(x) = αx^{2} + 2βx + γ, α ≠ 0. Zeigen Sie, dass es einen Diffeomorphismus Φ(y) = x gibt, so dass ẋ = f(x) differenzierbar konjugiert zu ẏ = g(y) mit g(y) = y^{2} + c ist. Bestimmen Sie c in Abhängigkeit von α, β und γ. Hinweis: Φ ist eine affine Transformation.

Präsenzaufgabe B: Sei x = x(t) eine Lösung der Differentialgleichung ẋ = f(x) auf ℝ zum Anfangswert x_{0} = x(0), wobei f(x) ≥ m > 0 für alle x ∈ ℝ gilt. Sei a ∈ ℝ beliebig. Zeigen Sie, dass ein Zeitpunkt t_{+} = t_{+}(x_{0}, a) existiert, so dass x(t) > a für alle t > t_{+} gilt.