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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 07
% 2002-11-26 (Beginn)
% 2002-11-26 (letzte Aenderung)
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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-12-04}
\newcommand{\blattnr}{7}
\newcommand{\aufgabennr}{23}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
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\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
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\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}
\DeclareMathOperator{\Rec} {Rec}
\DeclareMathOperator{\Nwa} {Nwa}

\newcommand{\hfills}{\hspace*{\fill}}
 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


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\Aufgabe

Sei $f(x)=\alpha x^3 + 3 \beta x^2 + \gamma x + \delta$, $\alpha \ne 0$.
Zeigen Sie, dass es einen Diffeomorphismus $\Phi(y)=x$ gibt, so dass $\dot x =
f(x)$ differenzierbar konjugiert zu $\dot y=g(y)$ mit $g(y)=\pm y^3 + dy + c$
ist. Bestimmen Sie das Vorzeichen sowie $c$ und $d$ in Abh"angigkeit von
$\alpha, \beta, \gamma$ und $\delta$. \Hinweis{$\Phi$ ist eine affine
  Transformation.}

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\Aufgabe
Gegeben sei die eindimensionale autonome Differentialgleichung $\dot x = f(x)$
auf dem offenen Intervall $U \subset \R$, wobei $\map f U \R$ stetig mit $f(x)
\ne 0$ f"ur alle $x \in U$ ($f$ muss nicht notwendig Lipschitzstetig sein).
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass ein lokaler Existenz- und \emph{Eindeutigkeitssatz}
  gilt (sogar f"ur die Differentialgleichung $\dot x = h(t) f(x)$ mit stetiger
  Funktion $h$).
\item Sei $I=[a,b] \subset U$ ein kompaktes Intervall. Zeigen Sie, dass jede
  L"osung der autonomen DGl eine maximale Verweilzeit hat, d.~h., es gibt ein
  $T(I) > 0$ so dass f"ur jeden Anfangswert $x_0 \in I$ Zeiten
  $t_\pm=t_\pm(x_0)$ mit $|t_\pm| < T(I)$ existieren, so dass die L"osung f"ur
  alle $t_- < t < t_+$ existiert aber $x(t_\pm) \notin (a,b)$ gilt.
\item
  Machen Sie sich durch ein einfaches Beispiel klar (graphisch oder
  analytisch), dass in Dimensionen gr"o"ser als $1$ eine Aussage wie in b) im
  Allgemeinen nicht richtig ist (d.~h. ein Kompaktum $K$ mit $\mathbf
  f(\mathbf x) \ne \mathbf 0$ wird m"oglicherweise \emph{nicht} verlassen).
\end{enumerate}

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\Aufgabe

F"ur $m > 0$ betrachten wir die einparametrige Familie $f_\lambda(x)=\lambda +
(1+m\lambda)x - x^3$. Skizzieren Sie das Bifurkationsdiagramm der
Differentialgleichung $\dot x = f_\lambda (x)$ f"ur die F"alle $m>1$, $m=1$
und $0<m<1$, d.~h.
\begin{enumerate}
\item zeichnen Sie die Gleichgewichtslagen $\overline x$ in einem Diagramm mit
  $\overline x$ "uber $\lambda$ ein, und kennzeichnen Sie die Stabilit"at;
\item skizzieren Sie den Graphen von $f_\lambda$ und das zugeh"orige
  (eindimensionale) Vektorfeld jeweils f"ur die strukturell stabilen
  $\lambda$-Intervalle \emph{und} f"ur die Bifurkationspunkte.
\end{enumerate}
\Hinweis{In der Vorlesung wurde $f(x)=c+dx-x^3$ untersucht. Die Familie
  $f_\lambda$ entspricht einer durch $\lambda$ parametrisierten Geraden in
  der $(c,d)$-Ebene.}

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

\pagebreak
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% Pr"asenzaufgaben
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% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}


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\Aufgabe

Das Wachstum einer Population $x=x(t) \ge 0$ sei logistisch (Wachstumsrate
$k>0$, D"ampfung durch "Uberpopulation $c>0$).  Zus"atzlich werde ein Teil der
Population entnommen (gejagt oder geerntet, "`harvested"', Parameter $h>0$).
Man sagt, dass die Population ausstirbt, falls eine (endliche) Zeit $t$ mit
$x(t)=0$ existiert.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Konstante Entnahmerate:} Die Population verhalte sich gem"a"s
  der Differentialgleichung $\dot x = kx - cx^2 - h$. Zeigen Sie, dass f"ur
  eine kleine Entnahmerate $0 < h \le k^2/(4c)$ ein Schwellenwert $\overline
  x_0$ existiert, so dass f"ur einen Anfangswert oberhalb von $\overline x_0$
  die Population gegen eine Gleichgewichtslage konvergiert bzw.\ f"ur einen
  Anfangswert unterhalb von $\overline x_0$ ausstirbt. Zeigen Sie au"serdem,
  dass die Population immer ausstirbt, wenn $h > k^2/(4c)$ gilt, wenn also
  zuviel entnommen wird.
\item \textbf{Proportionale Entnahmerate:} Die Population verhalte sich
  gem"a"s der Differentialgleichung $\dot x = kx - cx^2 - hx$. Zeigen Sie,
  dass f"ur eine gro"se Entnahmerate $h > k$ die Population unabh"angig vom
  Anfangswert gegen $0$ konvergiert, aber in endlicher Zeit nicht ausstirbt.
  Was passiert im Fall $h \le k$?
\end{enumerate}
\Hinweis{Sie k"onnen die Aufgabe auch bearbeiten, ohne die L"osungen der
  Differentialgleichungen explizit zu berechnen.}


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\Praesenz

Sei $f(x)=\alpha x^2 + 2 \beta x + \gamma$, $\alpha \ne 0$. Zeigen Sie, dass
es einen Diffeomorphismus $\Phi(y)=x$ gibt, so dass $\dot x = f(x)$
differenzierbar konjugiert zu $\dot y=g(y)$ mit $g(y)=y^2+c$ ist. Bestimmen
Sie $c$ in Abh"angigkeit von $\alpha, \beta$ und $\gamma$. \Hinweis{$\Phi$ ist
  eine affine Transformation.}


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\Praesenz

Sei $x=x(t)$ eine L"osung der Differentialgleichung $\dot x = f(x)$ auf $\R$
zum Anfangswert $x_0=x(0)$, wobei $f(x)\ge m >0$ f"ur alle $x \in \R$ gilt.
Sei $a \in \R$ beliebig. Zeigen Sie, dass ein Zeitpunkt $t_+=t_+(x_0,a)$
existiert, so dass $x(t) > a$ f"ur alle $t > t_+$ gilt.




%\enlargethispage*{2cm}
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%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



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\end{document}

