RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2002-12-11 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 8

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 27: Eine Differentialgleichung in ℝ^{2} \ {0} sei in Polarkoordinaten (r, φ), r > 0 durch

ṙ = −r^{α} φ̇ = r^{β}

mit α, β ∈ ℝ gegeben. Für welche Paare (α, β) läuft die Lösung in endlicher Zeit in den Ursprung, d. h. wann ist t_{+} := sup{t ∈ ℝ | r(t) > 0} < ∞? Für welche Parameter haben die Lösungskurven endlich bzw. unendlich viele Umläufe um den Ursprung?

Aufgabe 28: Für x = (p, φ) mit p ∈ ℝ und φ ∈ 𝕊^{1} = ℝ/2πℤ betrachten wir die Pendelgleichung

(ṗ ; φ̇) = ẋ = f(x) = (\begin{matrix}sin φ \\ p \end{matrix}) .  (1)

Sie beschreibt ein Pendel mit der oberen Ruhelage in (0, 0). Sei H = H(p, φ) die Hamilton-Funktion aus Präsenzaufgabe B.

a) Gesucht ist eine Lösung (p(t), φ(t)), die für t → ±∞ aus der oberen Gleichgewichtslage heraus- bzw. in sie hineinläuft. Nach Präsenzaufgabe B ist die Hamilton-Funktion auf jeder Bahn konstant und hier gilt H(0, 0) = 0. Gewinnen Sie hieraus eine Differentialgleichung erster Ordnung für φ(t), lösen Sie diese und bestimmen Sie dann p(t). Hinweis: Es gilt 1 − cos φ = 2 sin^{2}(φ/2).

b) Bestimmen Sie die Variationsgleichung, d. h. die Differentialgleichung für (DΦ_{t})(x) längs dieser Lösung.

Aufgabe 29: In Aufgabe 28 ist lim_{t→±∞}(Df)(p(t), φ(t)) = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) := A. Lösen Sie das

matrixwertige Anfangswertproblem Ṁ = AM, M(0) = 𝟙. Betrachten Sie lim_{t→±∞} M(t)v für geeignet gewählte Vektoren v ∈ ℝ^{2}. Stellen Sie den Zusammenhang mit dem asymptotischen Verhalten der Linearisierung in Aufgabe 28 nahe dem Sattel (p, φ) = (0.0) her.

Präsenzaufgabe A: Seien f, g: ℝ ⟶ ℝ stetig und strikt positiv mit ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{f(x)}dx < ∞ und ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{g(x)}dx < ∞. Sind die Differentialgleichungen ẋ = f(x) und ẏ = g(y) durch einen (globalen) Diffeomorphismus Φ: ℝ ⟶ ℝ, x = Φ(y) konjugiert? Ist das maximale Existenzintervall der Lösung zu ẋ = f(x) bzw. ẏ = g(y) beschränkt?

Präsenzaufgabe B: Gegeben sei die Pendelgleichung (??). Bestimmen Sie die Hamilton-Funktion zu diesem System, d. h., bestimmen Sie eine Funktion H(p, φ) mit

f(x) = (\begin{matrix}−∂_{φ}H \\ ∂_{p}H \end{matrix}) und H(0, 0) = 0.

Zeigen Sie außerdem, dass H längs Lösungen der Differentialgleichung ẋ = f(x) zeitlich konstant ist.

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html