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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 08
% 2002-12-10 (Beginn)
% 2002-12-10 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.
\usepackage{bbm}         % blackboard (see: /usr/share/texmf/mytex/bbm.dvi)

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% f"ur kyrillische Schrift
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%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2002-12-11}
\newcommand{\blattnr}{8}
\newcommand{\aufgabennr}{27}    % erste Aufgabennr.

%----------------------------------------------------------------------



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% Format"anderungen
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Sphere}{\ensuremath{\mathbb{S}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

\newcommand{\eins}{\mathbbm 1}                    % Indikatorfunktion

\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\vv}{\ensuremath{\mathbf{v}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}


\newcommand{\vektor}[1]{\Matrix{#1}}


%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}
\DeclareMathOperator{\Rec} {Rec}
\DeclareMathOperator{\Nwa} {Nwa}

\newcommand{\hfills}{\hspace*{\fill}}
 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Eine Differentialgleichung in $\R^2 \setminus \{\0\}$  sei in Polarkoordinaten
$(r,\phi)$, $r>0$ durch
\begin{displaymath}
  \dot r = -r^\alpha \qquad \qquad
  \dot \phi = r^\beta
\end{displaymath}
mit $\alpha, \beta \in \R$ gegeben. F"ur welche Paare $(\alpha,\beta)$ l"auft
die L"osung in endlicher Zeit in den Ursprung, d.~h.\, wann ist $t_+
:= \sup \set{t \in \R}{r(t)>0} < \infty$? F"ur welche Parameter haben die
L"osungskurven endlich bzw.\  unendlich viele Uml"aufe um den Ursprung?

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
F"ur $\x=(p,\phi)$ mit $p \in \R$ und $\phi \in \Sphere^1=\R / 2\pi\Z$
betrachten wir die Pendelgleichung
\begin{equation}
  \label{eq:pendel}
  \vektor{\dot p \\ \dot \phi} = \dot \x = \f(\x) = \vektor{\sin \phi \\ p}.
\end{equation}
Sie beschreibt ein Pendel mit der oberen Ruhelage in $(0,0)$. Sei
$H=H(p,\phi)$ die Hamilton-Funktion aus Pr"asenzaufgabe~B.
\begin{enumerate}
\item Gesucht ist eine L"osung $(p(t),\phi(t))$, die f"ur $t \to \pm \infty$
  aus der oberen Gleichgewichtslage heraus- bzw.\ in sie hineinl"auft. Nach
  Pr"asenzaufgabe~B ist die Hamilton-Funktion auf jeder Bahn konstant und hier
  gilt $H(0,0)=0$. Gewinnen Sie hieraus eine Differentialgleichung erster
  Ordnung f"ur $\phi(t)$, l"osen Sie diese und bestimmen Sie dann $p(t)$.

  \Hinweis{Es gilt $1-\cos \phi = 2 \sin^2(\phi/2)$}.
\item
  Bestimmen Sie die Variationsgleichung, d.~h.\  die Differentialgleichung
  f"ur $(D \Phi_t)(\x)$ l"angs dieser L"osung.
\end{enumerate}
%----------------------------------------------------------------------

\Aufgabe
In Aufgabe~28 ist $\lim_{t \to \pm \infty} (D \f)(p(t),\phi(t)) = \Matrix{0 &
  1\\1 & 0} := A$. L"osen Sie das matrixwertige Anfangswertproblem $\dot M =
AM$, $M(0)=\eins$. Betrachten Sie $\lim_{t \to \pm \infty} M(t) \vv$ f"ur
geeignet gew"ahlte Vektoren $\vv \in \R^2$. Stellen Sie den Zusammenhang mit
dem asymptotischen Verhalten der Linearisierung in Aufgabe~28 nahe dem Sattel
$(p,\phi)=(0.0)$ her.

%----------------------------------------------------------------------
%\Aufgabe


%\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Seien $\map{f,g} \R \R$ stetig und strikt positiv mit
$\int_{-\infty}^\infty \frac 1 {f(x)} dx < \infty$ und $\int_{-\infty}^\infty
\frac 1 {g(x)} dx < \infty$. Sind die Differentialgleichungen $\dot x = f(x)$
und $\dot y = g(y)$ durch einen (globalen) Diffeomorphismus $\map \Phi \R \R$,
$x=\Phi(y)$ konjugiert? Ist das maximale Existenzintervall der L"osung zu
$\dot x = f(x)$ bzw.\ $\dot y = g(y)$ beschr"ankt?

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Gegeben sei die Pendelgleichung~\eqref{eq:pendel}. Bestimmen Sie die
Hamilton-Funktion zu diesem System, d.~h., bestimmen Sie eine Funktion
$H(p,\phi)$ mit
\begin{displaymath}
  \f(\x)=\vektor{-\partial_\phi H \\ \partial_\p H}
  \qquad \text{und} \qquad
  H(0,0)=0.
\end{displaymath}
Zeigen Sie au"serdem, dass $H$ l"angs L"osungen der Differentialgleichung
$\dot \x = \f(\x)$ zeitlich konstant ist.

%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
%\Praesenz

\vspace*{\fill}
%\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}
%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

