RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2003-01-08 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 9

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 30: Betrachten Sie folgende durch μ ∈ ℝ parametrisierte Differentialgleichungen in ℝ^{2}. In Polarkoordinaten sei φ̇ = 1 und ṙ = f_{μ}(r) für r ≥ 0. Ordnen Sie die folgenden Vektorfelder den (perspektivisch nicht sehr gut) skizzierten Phasenproträts zu (mit kurzer Begründung):

a) f_{μ}(r) = −r(r − μ)^{2}  b) f_{μ}(r) = r(μ − r^{2})(2μ − r^{2})^{2}
c) f_{μ}(r) = r(r + μ)(r − μ)  d) f_{μ}(r) = −μr(r − μ)^{2}
e) f_{μ}(r) = −μ^{2}r(r + μ)^{2}(r − μ)^{2}

Aufgabe 31:

a)

Die nebenstehende Skizze zeigt das Phasenporträt einer Differentialgleichung ẋ = f(x) mit f ∈ C(ℝ^{2}, ℝ^{2}). Die vier Punkte bezeichnen hierbei Gleichgewichtslagen. Beachten Sie den Drehsinn der Spiralen! Bestimmen Sie die αund ω-Limesmengen sämlicher Orbits sowie die rekurrenten und die nichtwandernden Punkte des zugehörigen Flusses.

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

b) Geben Sie außerdem die ω-Limesmengen sowie die (pos.) rekurrenten und nichtwandernden Punkte zur Differentialgleichung aus Aufgabe 30 e) an.

Aufgabe 32: Der Fluss Φ_{t}(x) der Differentialgleichung ẋ = f(x), x ∈ ℝ^{ν}, existiere für alle Zeiten t ∈ ℝ. Zum Fluss Φ bezeichnen wir die Menge der periodischen ((positiv) rekurrenten bzw. (positiv) nichtwandernden) Punkte mit Per(Φ), Rec(Φ) bzw. Nwa(Φ). wobei 𝒰(x) die Menge der Umgebungen von x bezeichnet. Zeigen Sie folgende Eigenschaften:

a) Per(Φ), Rec(Φ) und Nwa(Φ) sind invariant unter Φ. (Eine Menge M ⊂ ℝ^{ν} ist invariant unter Φ, wenn Φ_{t}(M) ⊂ M für alle t ∈ ℝ gilt.)

b) Nwa(Φ) ist abgeschlossen.

Aufgabe 33: In der Umgebung U_{r_{0}} := {x ∈ ℝ^{ν} | |x_{1}| ≤ h, x_{2}^{2} + ⋯ + x_{ν}^{2} ≤ r_{0}^{2}} sei das Vektorfeld der Differentialgleichung ẋ = f(x) gegeben durch f(x) = (1, 0, …, 0) =: e_{1} (dies ist lokal immer nach dem Begradigungssatz für nichtverschwindende Vektorfelder möglich). Mit Φ_{t}(x) bezeichnen wir den Fluss dieser Differentialgleichung. Weiter sei

Σ_{r_{0}} := {x ∈ U_{r_{0}} | g(x) = 0}, g ∈ C^{1}(U_{r_{0}}, ℝ), g(0) = 0

und (∇g)(0) sei nicht senkrecht zu e_{1}. Außerdem sei Σ_{r_{0}} zusammenhängend (ansonsten wähle man die Zusammenhangskomponente, die 0 enthält, oder man verkleinere h > 0). Zeigen Sie:

a) Es gibt ein 0 < r < r_{0}, so dass Σ_{r} ein transversaler Schnitt ist, d. h., dass Σ_{r} Graph einer Funktion x_{1} = ξ(x_{2}, …, x_{ν}) ist.

b) Zu jedem y ∈ U_{r} gibt es ein t ∈ ℝ, so dass Φ_{t}(y) ∈ Σ_{r} gilt. Geben Sie eine obere Schranke für |t| an.

Präsenzaufgabe A: Skizzieren Sie das Phasenporträt der in Polarkoordinanten in ℝ^{2} gegebenen Differentialgleichung φ̇ = 1, ṙ = (1 − r), r ≥ 0. Geben Sie zu jedem Orbit die α- bzw. ω-Limesmenge an. Welche Punkte sind rekurrent und welche nichtwandernd?

Präsenzaufgabe B: Zeigen Sie die Inklusionen Per(Φ) ⊂ Rec(Φ) ⊂ Nwa(Φ).

Präsenzaufgabe C: Der Fluss Φ_{t}(x) der Differentialgleichung ẋ = f(x) existiere für alle Zeiten t ∈ ℝ. Sei x ein (positiv) rekurrenter Punkt. Zeigen Sie, dass dann jeder Punkt der Bahn 𝒪(x) = {Φ_{t}(x) | t ∈ ℝ} von x ein (positiver) rekurrenter Punkt ist.

Präsenzaufgabe D: Berechnen Sie den Fluss Φ_{t}(x) aus Aufgabe 33.