%----------------------------------------------------------------------
% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 09
% 2002-12-18 (Beginn)
% 2002-12-19 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.
\usepackage{bbm}         % blackboard (see: /usr/share/texmf/mytex/bbm.dvi)

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% f"ur kyrillische Schrift
\usepackage[OT2,OT1]{fontenc}
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  \renewcommand\rmdefault{wncyr}%
  \renewcommand\sfdefault{wncyss}%
  \renewcommand\encodingdefault{OT2}%
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  \selectfont}
\DeclareTextFontCommand{\textcyr}{\cyr}
 

%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2003-01-08}
\newcommand{\blattnr}{9}
\newcommand{\aufgabennr}{30}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
%----------------------------------------------------------------------

\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\eins}{\mathbbm 1}                    % Indikatorfunktion

\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\vv}{\ensuremath{\mathbf{v}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}


\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}
\DeclareMathOperator{\Rec} {Rec}
\DeclareMathOperator{\Nwa} {Nwa}

\newcommand{\hfills}{\hspace*{\fill}}
 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Betrachten Sie folgende durch $\mu \in \R$ parametrisierte
Differentialgleichungen in $\R^2$.  In Polarkoordinaten sei $\dot \phi = 1$
und $\dot r = f_\mu(r)$ f"ur $r \ge 0$. Ordnen Sie die folgenden Vektorfelder
den (perspektivisch nicht sehr gut) skizzierten Phasenprotr"ats zu (mit
kurzer Begr"undung):
\begin{align*}
  \text{a) } f_\mu(r)& =-r(r-\mu)^2 & 
  \text{b) } f_\mu(r)& = r(\mu-r^2)(2\mu-r^2)^2\\ 
  \text{c) } f_\mu(r)& = r(r+\mu)(r-\mu) & 
  \text{d) } f_\mu(r)& =-\mu r(r-\mu)^2\\
  \text{e) } f_\mu(r)& =-\mu^2r(r+\mu)^2(r-\mu)^2
\end{align*}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=0.6]
 {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/phase2.ps}
\end{center}
\vspace{-1cm}
\enlargethispage*{1cm}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
\begin{enumerate}
\item \parbox[t]{7cm}{Die nebenstehende Skizze zeigt das Phasenportr"at einer
    Differentialgleichung $\dot \x = \f(\x)$ mit $\f \in C(\R^2,\R^2)$. Die
    vier Punkte bezeichnen hierbei Gleichgewichtslagen.  Beachten Sie den
    Drehsinn der Spiralen! Bestimmen Sie die $\alpha$- und
    $\omega$-Limesmengen s"amlicher Orbits sowie die rekurrenten und die
    nichtwandernden Punkte des zugeh"origen Flusses.} \quad
  \raisebox{-3.5cm}{\includegraphics[scale=1]
    {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/phase.eps}}
\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

\pagebreak
  
\item Geben Sie au"serdem die $\omega$-Limesmengen sowie die (pos.)
  rekurrenten und nichtwandernden Punkte zur Differentialgleichung aus
  Aufgabe~30~e) an.
\end{enumerate}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Der Fluss $\Phi_t(\x)$ der Differentialgleichung $\dot \x = \f(\x)$, $\x \in
\R^\nu$, existiere f"ur alle Zeiten $t \in \R$. Zum Fluss $\Phi$ bezeichnen
wir die Menge der \emph{periodischen} (\emph{(positiv) rekurrenten} bzw.\ 
\emph{(positiv) nichtwandernden}) Punkte mit $\Per(\Phi)$, $\Rec(\Phi)$ bzw.\
$\Nwa(\Phi)$.
% \begin{align*}
%   \Per(\Phi) & := \set{\x \in \R^\nu}{\; \exists T > 0: \quad \Phi_T(x)=x }\\
%   \Rec(\Phi) & := \set{\x \in \R^\nu}
%     {\;\forall U \in \mathcal U(\x) \,\; \forall T>0\, \; \exists t_0>0:
%     \quad
%       \Phi_{t_0}(\x) \in U}\\
%   \Nwa(\Phi) & := \set{\x \in \R^\nu}
%     {\;\forall U \in \mathcal U(\x) \,\; \forall T>0\, \; \exists t_0>0:
%     \quad 
%       \Phi_{t_0}(U) \cap U \ne \emptyset}
% \end{align*}
wobei $\mathcal U(\x)$ die Menge der Umgebungen von $\x$ bezeichnet.
Zeigen Sie folgende Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $\Per(\Phi)$, $\Rec(\Phi)$ und $\Nwa(\Phi)$ sind invariant unter $\Phi$. (Eine Menge
  $M \subset \R^\nu$ ist \emph{invariant unter $\Phi$}, wenn $\Phi_t(M)
  \subset M$ f"ur alle $t \in \R$ gilt.)
\item $\Nwa(\Phi)$ ist abgeschlossen.
\end{enumerate}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe In der Umgebung $U_{r_0} := \set{\x \in \R^\nu}{ |x_1| \le h, x_2^2+
  \dots + x_\nu^2 \le r_0^2}$ sei das Vektorfeld der Differentialgleichung
$\dot \x = \f(\x)$ gegeben durch $\f(\x)=(1,0,\dots,0)=:\ee_1$ (dies ist lokal
immer nach dem Begradigungssatz f"ur nichtverschwindende Vektorfelder
m"oglich). Mit $\Phi_t(\x)$ bezeichnen wir den Fluss dieser
Differentialgleichung. Weiter sei
\begin{displaymath}
  \Sigma_{r_0}:=\set{\x \in U_{r_0}}{g(\x)=0}, \quad
  g \in C^1(U_{r_0}, \R), \quad
  g(\0)=0
\end{displaymath}
und $(\nabla g)(\0)$ sei nicht senkrecht zu $\ee_1$. Au"serdem sei
$\Sigma_{r_0}$ zusammenh"angend (ansonsten w"ahle man die
Zusammenhangskomponente, die $\0$ enth"alt, oder man verkleinere
$h>0$). Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item Es gibt ein $0<r<r_0$, so dass $\Sigma_r$ ein
  transversaler Schnitt ist, d.~h., dass $\Sigma_r$ Graph einer Funktion
  $x_1=\xi(x_2,\dots,x_\nu)$ ist.
\item Zu jedem $\y \in U_r$ gibt es ein $t \in \R$, so dass $\Phi_t(\y) \in
  \Sigma_r$ gilt. Geben Sie eine obere Schranke f"ur $|t|$ an.
\end{enumerate}


%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}


%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Skizzieren Sie das Phasenportr"at der in Polarkoordinanten in $\R^2$ gegebenen
Differentialgleichung $\dot \phi = 1$, $\dot r = (1-r)$, $r \ge 0$. Geben Sie
zu jedem Orbit die $\alpha$- bzw.\ $\omega$-Limesmenge an. Welche Punkte sind
rekurrent und welche nichtwandernd?

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz Zeigen Sie die Inklusionen $\Per (\Phi) \subset \Rec (\Phi) \subset
\Nwa (\Phi)$.


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Der Fluss $\Phi_t(\x)$ der Differentialgleichung $\dot \x = \f(\x)$ existiere
f"ur alle Zeiten $t \in \R$. Sei $x$ ein (positiv) rekurrenter Punkt. Zeigen
Sie, dass dann jeder Punkt der Bahn $\mathcal O(\x)=\set{\Phi_t(\x)}{ t \in
  \R}$ von $\x$ ein (positiver) rekurrenter Punkt ist.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Berechnen Sie den Fluss $\Phi_t(\x)$ aus Aufgabe~33.

%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

