RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2003-01-20 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 10

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 34: Sei ẋ = f(x) eine Differentialgleichung, die zu jedem x_{0} ∈ D ⊂ ℝ^{ν} eine eindeutige Lösung hat (dies ist z. B. der Fall, falls f ∈ C^{1}(D, ℝ^{ν}).

a) Der zugehörige Fluss Φ_{t}(x) erfülle Φ_{t_{1}}(x) = Φ_{t_{2}}(x) für zwei Zeitpunkte t_{1} < t_{2}. (i) Zeigen Sie, dass Φ_{t}(x) für alle t ∈ ℝ existiert und T := t_{2} − t_{1}-periodisch ist. (ii) Falls Φ_{t_{1}}(x) ≠ Φ_{t}(x) für alle t_{1} < t < t_{2} gilt, dann hat x Primperiode T. (iii) Falls f(x) ≠ 0, dann hat x Primperiode T/k für ein k ∈ ℕ.

b) Ist x nicht periodisch, so gilt Φ_{t}(x) ≠ Φ_{t′}(x) für alle t ≠ t′ aus dem maximalen Existenzintervall.

Aufgabe 35: Beweis eines Spezialfalles von Lemma 4.2 der Vorlesung Sei f̂ ∈ C^{1}(ℝ^{ν}, ℝ^{ν}) mit hyperbolischer Gleichgewichtslage \overline{x}. Weiter sei g ∈ C^{1}(ℝ × ℝ^{ν}, ℝ^{ν}) bezüglich der ersten Variable T -periodisch (g(t; x) = g(t + T; x)). Für μ ∈ ℝ (nahe 0) ist dann

f(μ, t; x) := f̂(x) + μg(t; x)

eine periodische Störung von f̂. Zeigen Sie, dass es zu t_{0} ∈ ℝ ein μ_{0} > 0 und eine Umgebung U_{0} von \overline{x} gibt, so dass für alle μ mit |μ| < μ_{0} die Abbildung F_{μ,t_{0},T} : ℝ^{ν} ⟶ ℝ^{ν} definiert durch F_{μ,t_{0},T} (x) := Φ(μ, t_{0} → t_{0} + T; x) in U_{0} einen eindeutigen hyperbolischen Fixpunkt x̃(μ) mit x̃(0) = \overline{x} hat. Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Existenz von x̃(μ) für kleine |μ| mit dem Satz über implizite Funktionen, und untersuchen Sie, wann der Fixpunkt hyperbolisch ist.

Aufgabe 36: Sei 𝕊^{1} = ℝ/ℤ. Zeigen Sie, dass für jedes z ∈ 𝕊^{1} die Menge M_{z} := {cn+z | n ∈ ℤ} dicht in 𝕊^{1} liegt, wenn c ∈ ℝ\ℚ gilt, indem Sie folgende Schritte beweisen: (i) M_{z} hat unendlich viele Elemente. (ii) M_{z} hat einen Häufungspunkt in 𝕊^{1}. (iii) Zu jedem ε > 0 gibt es ein k ∈ ℕ und n ∈ ℤ, so dass d_{𝕊^{1}}(c(k+n)+z, cn+z) < ε gilt. (iv) Nutzen Sie die Translationsinvarianz der Metrik auf 𝕊^{1} aus, und konstruieren Sie eine Folge von Punkten aus M_{z}, die 𝕊^{1} in Abschnitte mit Länge kleiner als ε zerlegt. (v) Schließen Sie auf die Behauptung.

Aufgabe 37: Auf dem zweidimensionalen (flachen) Torus 𝕋^{2} := 𝕊^{1} × 𝕊^{1} mit 𝕊^{1} = ℝ/ℤ sei die Differentialgleichung (ẋ, ẏ) = (1, c) mit c ∈ ℝ gegeben.

a) Zeigen Sie, dass für c ∈ ℚ alle Orbits periodisch sind. Geben Sie die Primperiode an.

b) Zeigen Sie, dass für c ∈ ℝ \ ℚ jeder Orbit dicht auf dem Torus ist. Hinweis: Nutzen Sie Aufgabe 36!

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

Präsenzaufgabe A: Sei ω(x) die (zukünftige) Limesmenge zum Fluss Φ_{t}(x), x ∈ ℝ^{ν}. Zeigen Sie, dass aus y ∈ ω(x) die Inklusion ω(y) ⊆ ω(x) folgt. Gilt die umgekehrte Inklusion? (Beweis oder Gegenbeispiel)

Präsenzaufgabe B: Sei x_{0} Gleichgewichtslage der autonomen Differentialgleichung ẋ = f(x), f ∈ C^{2}(ℝ^{ν}, ℝ^{ν}), mit Fluss Φ_{t}(x). Berechnen Sie (D_{x}Φ_{t})(x_{0}). Hinweis: Stellen Sie eine Differentialgleichung für (D_{x}Φ_{t})(x_{0}) auf!

Präsenzaufgabe C: Sei H(x, p) := p^{2}/2 + V (x) mit V (x) := x^{4}/4 − x^{2}/2 die Hamilton-Funktion zum Duffing-Oszillator. Berechnen Sie das zugehörige Vektorfeld und dessen Linearisierung um die elliptischen Gleichgewichtslagen. Geben Sie die Lösung für das linearisierte System an. Skizzieren Sie das Phasenportrait (qualitativ) für die Fälle −1/4 < H_{0} < 0 und H_{0} > 0 mit H(x, p) = H_{0}.

Präsenzaufgabe D: Berechnen Sie den Fluss zur Differentialgleichung aus Aufgabe 37 und skizzieren Sie (einige) Orbits.