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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 10
% 2003-01-16 (Beginn)
% 2002-01-17 (letzte Aenderung)
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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
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% f"ur kyrillische Schrift
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% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2003-01-20}
\newcommand{\blattnr}{10}
\newcommand{\aufgabennr}{34}    % erste Aufgabennr.

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% Format"anderungen
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




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% Mathematische Zeichen
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\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
\newcommand{\Sphere}{\ensuremath{\mathbb{S}}}
\newcommand{\Torus}{\ensuremath{\mathbb{T}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\eins}{\mathbbm 1}                    % Indikatorfunktion

\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\vv}{\ensuremath{\mathbf{v}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}
\DeclareMathOperator{\Rec} {Rec}
\DeclareMathOperator{\Nwa} {Nwa}

\newcommand{\hfills}{\hspace*{\fill}}
 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
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\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


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\Aufgabe
Sei $\dot \x = \f(\x)$ eine Differentialgleichung, die zu jedem $\x_0 \in D
\subset \R^\nu$ eine eindeutige L"osung hat (dies ist z.~B.\ der Fall, falls
$\f \in C^1(D,\R^\nu)$.
\begin{enumerate}
\item Der zugeh"orige Fluss $\Phi_t(\x)$ erf"ulle $\Phi_{t_1}(\x)=
  \Phi_{t_2}(\x)$ f"ur zwei Zeitpunkte $t_1<t_2$. (i) Zeigen Sie, dass
  $\Phi_t(\x)$ f"ur alle $t \in \R$ existiert und $T:=t_2-t_1$-periodisch ist.
  (ii) Falls $\Phi_{t_1}(\x) \ne \Phi_t(\x)$ f"ur alle $t_1<t<t_2$ gilt, dann
  hat $\x$ Primperiode $T$. (iii) Falls
  $\f(\x) \ne \0$, dann hat $\x$ Primperiode $T/k$ f"ur ein $k \in
  \N$.
\item Ist $\x$ nicht periodisch, so gilt $\Phi_t(\x) \ne \Phi_{t'}(\x)$ f"ur
  alle $t \ne t'$ aus dem maximalen Existenz\-intervall.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe[Beweis eines Spezialfalles von Lemma~4.2 der Vorlesung]

Sei $\hat \f \in C^1(\R^\nu,\R^\nu)$ mit hyperbolischer Gleichgewichtslage
$\overline \x$.  Weiter sei $\g \in C^1(\R \times \R^\nu,\R^\nu)$ bez"uglich
der ersten Variable $T$-periodisch ($\g(t;\x)=\g(t+T;\x)$). F"ur $\mu \in \R$
(nahe $0$) ist dann
\begin{displaymath}
  \f(\mu, t; \x) := \hat \f(\x) + \mu \g(t; \x)
\end{displaymath}
eine periodische St"orung von $\hat \f$.  Zeigen Sie, dass es zu $t_0 \in \R$
ein $\mu_0>0$ und eine Umgebung $U_0$ von $\overline \x$ gibt, so dass f"ur
alle $\mu$ mit $|\mu|<\mu_0$ die Abbildung $\map{\mathbf
  F_{\mu,t_0,T}}{\R^\nu}{\R^\nu}$ definiert durch $\mathbf
F_{\mu,t_0,T}(\x):=\Phi(\mu,t_0 \to t_0 + T; \x)$ in $U_0$ einen eindeutigen
hyperbolischen Fixpunkt $\tilde \x(\mu)$ mit $\tilde \x(0)=\overline \x$ hat.
\Hinweis{Zeigen Sie zun"achst die Existenz von $\tilde \x(\mu)$ f"ur kleine
  $|\mu|$ mit dem Satz "uber implizite Funktionen, und untersuchen Sie, wann
  der Fixpunkt hyperbolisch ist.}

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\Aufgabe Sei $\Sphere^1 = \R / \Z$. Zeigen Sie, dass f"ur jedes $z \in
\Sphere^1$ die Menge $M_z:=\set{cn + z}{n \in \Z}$ dicht in $\Sphere^1$ liegt,
wenn $c \in \R \setminus \Q$ gilt, indem Sie folgende Schritte beweisen: (i)
$M_z$ hat unendlich viele Elemente.  (ii) $M_z$ hat einen H"aufungspunkt in
$\Sphere^1$. (iii) Zu jedem $\eps>0$ gibt es ein $k \in \N$ und $n \in \Z$, so
dass $d_{\Sphere^1}(c(k+n) + z, cn + z) < \eps$ gilt. (iv) Nutzen Sie die
Translationsinvarianz der Metrik auf $\Sphere^1$ aus, und konstruieren Sie
eine Folge von Punkten aus $M_z$, die $\Sphere^1$ in Abschnitte mit L"ange
kleiner als $\eps$ zerlegt. (v) Schlie"sen Sie auf die Behauptung.

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\Aufgabe
Auf dem zweidimensionalen (flachen) Torus $\Torus^2:=\Sphere^1 \times
\Sphere^1$ mit $\Sphere^1 = \R / \Z$ sei die Differentialgleichung $(\dot x,
\dot y) = (1,c)$ mit $c \in \R$ gegeben.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass f"ur $c \in \Q$ alle Orbits periodisch sind. Geben Sie
  die Primperiode an.
\item Zeigen Sie, dass f"ur $c \in \R \setminus \Q$ jeder Orbit dicht auf dem
  Torus ist. \Hinweis{Nutzen Sie Aufgabe~36!}
\end{enumerate}

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Sei $\omega(x)$ die (zuk"unftige) Limesmenge zum Fluss $\Phi_t(\x)$, $\x \in
\R^{\nu}$. Zeigen Sie, dass aus $y \in \omega(x)$ die Inklusion $\omega(y)
\subseteq \omega(x)$ folgt. Gilt die umgekehrte Inklusion? (Beweis oder
Gegenbeispiel)

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Sei $\x_0$ Gleichgewichtslage der autonomen Differentialgleichung $\dot \x =
\f(\x)$, $\f \in C^2(\R^\nu,\R^\nu)$, mit Fluss $\Phi_t(\x)$. Berechnen Sie
$(D_\x \Phi_t)(\x_0)$. \Hinweis{Stellen Sie eine Differentialgleichung f"ur
  $(D_\x \Phi_t)(\x_0)$ auf!}

%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Sei $H(x,p):=p^2/2 + V(x)$ mit $V(x):=x^4/4 - x^2/2$ die Hamilton-Funktion zum
\emph{Duffing-Oszillator}. Berechnen Sie das zugeh"orige Vektorfeld und dessen
Linearisierung um die elliptischen Gleichgewichtslagen. Geben Sie die L"osung
f"ur das linearisierte System an. Skizzieren Sie das Phasenportrait
(qualitativ) f"ur die F"alle $-1/4<H_0<0$ und $H_0>0$ mit $H(x,p)=H_0$.

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Berechnen Sie den Fluss zur Differentialgleichung aus Aufgabe~37 und
skizzieren Sie (einige) Orbits.


%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

