RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2003-01-27 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 11

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 38: Sei {x^{p}(t) | 0 ≤ t ≤ T } eine T -periodische Bahn eines T -periodischen Flusses, also Φ(t_{0} → t_{0} + T; x^{p}(t_{0})) = x^{p}(t_{0}).

a) Zeigen Sie: Wenn x^{p}(t_{0}) ein hyperbolischer Fixpunkt von F_{t_{0}} := Φ(t_{0} → t_{0} + T; ·) ist, dann ist x^{p}(t_{1}) auch ein hyperbolischer Fixpunkt der entsprechenden Flussabbildung F_{t_{1}} für jedes t_{1} ∈ ℝ.

b) Sei x ∈ ℝ^{ν}. Zeigen Sie, dass lim_{k→∞} F_{t_{0}}^{k}(x) = x^{p}(t_{0}) genau dann gilt, wenn lim_{t→∞} |Φ(t_{0} → t; x) − x^{p}(t)| = 0 ist.

Aufgabe 39: Berechnen Sie die Gleichgewichtslagen des Differentialgleichungssystems

(ẋ ; ẏ ; ż) = (\begin{matrix}y − x \\ 2x − y − xz \\ −z + xy \end{matrix}) =: f(x, y, z),

berechnen Sie jeweils die Linearisierung um die Gleichgewichtslage und geben Sie jeweils die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Linearisierung um die Gleichgewichtslage an.

Aufgabe 40: Berechnen Sie die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Differentialgleichung

(ẋ ; ẏ ; ż) = (\begin{matrix}y − x − μx(x^{2} + y^{2}) \\ −x − y − μy(x^{2} + y^{2}) \\ z(1 + μ^{2} cosh(xyz^{2})) \end{matrix}) =: f(x, y, z).

Aufgabe 41: Berechnen Sie die Fixpunkte der Abbildung

F(x, y, z) := (\begin{matrix}(x^{2} + (y − 1)^{2} + z^{2})(−x/2 + y) + x \\ (x^{2} + (y − 1)^{2} + z^{2})(−9x − y/2) + y \\ −3(x^{2} + (y − 1)^{2} + z^{2})(z − 1) + z \end{matrix}) , (x, y, z) ∈ ℝ^{3}

und jeweils die Linearisierung um die Fixpunkte. Geben Sie jeweils die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Linearisierung um die hyperbolischen Fixpunkte an.

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

Präsenzaufgabe A: Sei V (x) := −\frac{1}{2}x^{2}(1 − x)^{2} ein Potential. Die zur Hamiltonfunktion H(x, p) := p^{2}/2 + V (x) gehörige Differentialgleichung lautet dann ẋ = ∂_{p}H = p und ṗ = −∂_{x}H = −V′(x). Das entsprechende Vektorfeld f(x, p) = (ẋ, ṗ) hat eine hyperbolische Gleichgewichtslagen in (x, p) = (0, 0). Geben Sie die Linearisierung und die (in)stabilen Mannigfaltigkeiten der Linearisierung um (x, p) = (0, 0) an. Berechnen Sie die Funktion h^{u} bezüglich geeignet gewählten Koordinaten (vgl. Abschnitt 4.3 der Vorlesung, dort ähnliches Problem).

Präsenzaufgabe B:

(i) Zwei Matrizen A, B heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix M mit B = MAM^{−1} gibt. Welche Beziehung gilt zwischen den Eigenwerten von A und B?

(ii) Sei x(t) := Φ(t_{0} → t; x) der Fluss einer Differentialgleichung. Berechnen Sie die Ableitung von Φ(t_{1} → t_{2}; ·) ∘ Φ(t_{0} → t_{1}; ·) mit der Kettenregel. Drücken Sie die Ableitung von Φ(t_{0} → t_{1}; ·) durch die Ableitung von Φ(t_{1} → t_{0}; ·) aus.

Präsenzaufgabe C: Sei ẋ = f(x) mit f(x) = x^{2}(1 − x^{2}). Zeichnen Sie das Phasenportrait und geben Sie die (in)stabilen Mannigfaltigkeiten zu allen Gleichgewichtslagen an.

Präsenzaufgabe D: Lösen Sie Aufgabe 40 im Spezialfall μ = 0.