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% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 11
% 2003-01-23 (Beginn)
% 2002-01-23 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


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% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.
\usepackage{bbm}         % blackboard (see: /usr/share/texmf/mytex/bbm.dvi)

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% f"ur kyrillische Schrift
\usepackage[OT2,OT1]{fontenc}
\newcommand\cyr{%
  \renewcommand\rmdefault{wncyr}%
  \renewcommand\sfdefault{wncyss}%
  \renewcommand\encodingdefault{OT2}%
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  \selectfont}
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%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
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\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2003-01-27}
\newcommand{\blattnr}{11}
\newcommand{\aufgabennr}{38}    % erste Aufgabennr.

%----------------------------------------------------------------------



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% Format"anderungen
%----------------------------------------------------------------------

\sloppy
\frenchspacing
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\renewcommand{\bottomfraction}{0.5}
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\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\eins}{\mathbbm 1}                    % Indikatorfunktion

\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\vv}{\ensuremath{\mathbf{v}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
%\DeclareMathOperator{\grad} {grad}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}
\DeclareMathOperator{\Rec} {Rec}
\DeclareMathOperator{\Nwa} {Nwa}

\newcommand{\hfills}{\hspace*{\fill}}
 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Sei $\set{\x^p(t)}{0 \le t \le T}$ eine $T$-periodische Bahn eines
$T$-periodischen Flusses, also $\Phi(t_0 \to t_0+T; \x^p(t_0))=\x^p(t_0)$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie: Wenn $\x^p(t_0)$ ein hyperbolischer Fixpunkt von $F_{t_0} :=
  \Phi(t_0 \to t_0+T; \cdot)$ ist, dann ist $\x^p(t_1)$ auch ein
  hyperbolischer Fixpunkt der entsprechenden Flussabbildung $F_{t_1}$ f"ur
  jedes $t_1 \in \R$.
\item Sei $\x \in \R^\nu$. Zeigen Sie, dass $\lim_{k \to \infty} F_{t_0}^k(\x)
  = \x^p(t_0)$ genau dann gilt, wenn $\lim_{t \to \infty}|\Phi(t_0 \to t; \x)
  - \x^p(t)| = 0$ ist.
\end{enumerate}



%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Berechnen Sie die Gleichgewichtslagen des Differentialgleichungssystems
\begin{displaymath}
  \Matrix{\dot x\\ \dot y\\ \dot z} = \Matrix{y-x\\ 2x-y-xz\\ -z+xy} =:
  \f(x,y,z),
\end{displaymath}
berechnen Sie jeweils die Linearisierung um die Gleichgewichtslage und geben
Sie jeweils die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Linearisierung
um die Gleichgewichtslage an.

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Berechnen Sie die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der
Differentialgleichung
\begin{displaymath}
  \Matrix{\dot x\\ \dot y\\ \dot z} =
  \Matrix{ y - x - \mu x (x^2 + y^2)\\
          -x - y - \mu y (x^2 + y^2)\\
           z (1 + \mu^2 \cosh(x y z^2))} =:
  \f(x,y,z).
\end{displaymath}

%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe
Berechnen Sie die Fixpunkte der Abbildung
\begin{displaymath}
  \mathbf F(x,y,z) :=
   \Matrix{(x^2 + (y-1)^2 + z^2)(-x/2 + y)+x \\
           (x^2 + (y-1)^2 + z^2)(-9x - y/2)+y \\
         -3(x^2 + (y-1)^2 + z^2)(z-1)+z}, \qquad (x,y,z) \in \R^3
\end{displaymath}
und jeweils die Linearisierung um die Fixpunkte. Geben Sie
jeweils die stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten der Linearisierung um
die \emph{hyperbolischen} Fixpunkte an.

\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

\pagebreak
%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Sei $V(x):=-\frac12 x^2(1-x)^2$ ein Potential.  Die zur Hamiltonfunktion
$H(x,p):=p^2/2 + V(x)$ geh"orige Differentialgleichung lautet dann $\dot x =
\partial_p H = p$ und $\dot p = -\partial_x H = -V'(x)$. Das entsprechende
Vektorfeld $\f(x,p)=(\dot x, \dot p)$ hat eine hyperbolische
Gleichgewichtslagen in $(x,p)=(0,0)$.

Geben Sie die Linearisierung und die (in)stabilen Mannigfaltigkeiten der
Linearisierung um $(x,p)=(0,0)$ an. Berechnen Sie die Funktion $h^u$
bez"uglich geeignet gew"ahlten Koordinaten (vgl. Abschnitt~4.3 der Vorlesung,
dort "ahnliches Problem).

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
\begin{enumerate}
\item Zwei Matrizen $A,B$ hei"sen \emph{"ahnlich}, wenn es eine invertierbare
  Matrix $M$ mit $B=MAM^{-1}$ gibt. Welche Beziehung gilt zwischen den
  Eigenwerten von $A$ und $B$?
\item Sei $\x(t):=\Phi(t_0 \to t; \x)$ der Fluss einer Differentialgleichung.
  Berechnen Sie die Ableitung von $\Phi(t_1 \to t_2; \cdot) \circ \Phi(t_0 \to
  t_1; \cdot)$ mit der Kettenregel. Dr"ucken Sie die Ableitung von $\Phi(t_0
  \to t_1; \cdot)$ durch die Ableitung von $\Phi(t_1 \to t_0; \cdot)$ aus.
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

Sei $\dot x=f(x)$ mit $f(x)=x^2(1-x^2)$. Zeichnen Sie das Phasenportrait und
geben Sie die (in)stabilen Mannigfaltigkeiten zu allen Gleichgewichtslagen an.



%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz

L"osen Sie Aufgabe~40 im Spezialfall $\mu = 0$.



%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
% \Praesenz

% Stellen Sie das zur Differentialgleichung $\ddot x + \dot x - 2x + x^3 = 0$
% geh"orende DGl-System auf, bestimmen Sie die zugeh"origen Gleichgewichtslagen,
% berechnen Sie die Linearisierung um die Gleichgewichtslagen und geben Sie die
% stabilen/instabilen Mannigfaltigkeiten der Linearisierungen an.


%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

