RWTH Aachen Wintersemester 2002/03

Institut für Reine und Angewandte Mathematik 2003-02-03 Prof. Dr. V. Enß/Dr. O. Post Blatt 12

Übungen zur Vorlesung ”Dynamische Systeme“

Aufgabe 42: Bei der Berechnung der Melnikov-Funktion (���������) zum periodisch gestörten Duffing-Oszillator tritt das Integral

I := ∫_{−∞}^{∞} f(t) dt, f(t) := cos(ωt)/ cosh t

auf. Zeigen Sie, dass I = π/ cosh(ωπ/2) gilt, indem Sie folgende Schritte beweisen:

(i) Zeigen Sie, dass f für jedes a > 0 genau eine einfache Polstelle z_{0} = iπ/2 im Rechteck C := [−a, a] + [0, iπ] ⊂ ℂ hat. (ii) Zeigen Sie, dass

|∫_{0}^{π} \frac{cos(ω(±a + iy))}{cosh(±a + iy)}dy| ≤ \frac{π}{2} e^{−a}

gilt. (iii) Zeigen Sie, dass

∫_{a+iπ}^{−a+iπ} f(z) dz = cosh(πω) ∫_{−a}^{a} f(x) dx

gilt. (iv) Folgern Sie aus dem Residuensatz ∫_{∂C} f(z) dz = 2πi Res(f, z_{0}) die Behauptung. Hinweis: Es gilt 1 + cosh(u) = 2 cosh^{2}(u/2).

Aufgabe 43: Sei φ: ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, (μ, τ) ↦ φ(μ, τ), φ ∈ C^{2}, φ(0, τ) = 0 für alle τ, und ∂_{μ}φ(0, τ) habe bei τ_{0} eine einfache Nullstelle. Zeigen Sie:

a) Es gibt ein μ_{0} > 0, so dass für jedes μ mit 0 < |μ| ≤ μ_{0} die Funktion φ(μ, ·) eine einfache Nullstelle τ_{μ} nahe τ_{0} hat.

b) Sei ψ: ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2}, ψ ∈ C^{1}. Für jedes μ mit 0 < |μ| ≤ μ_{0} schneiden sich die Tangenten an die Graphen von ψ(μ, ·) und (ψ(μ, ·) + φ(μ, ·)) im Punkt τ_{μ} transversal.

Aufgabe 44: Sei H(x, p) := p^{2}/2 + cos x − 1 die Hamilton-Funktion zum mathematischen Pendel (x = 0 entspricht der oberen Gleichgewichtslage). Das zugehörige Vektorfeld f̂ hat eine homokline Bahn gegeben durch z^{0}(t) = (x^{0}(t), p^{0}(t))^{T} mit x^{0}(t) = 4 arctan(e^{t}) und p^{0}(t) = 4e^{t}/(1 + e^{2t}) = 2/ cosh t (vgl. Aufgabe 28). Wir betrachten das periodisch gestörte Vektorfeld f(μ, z; t) := f̂(z) + μg(z; t) mit

g(z; t) = g(x, p; t) = (\begin{matrix}0 \\ sin(ωt) − λp \end{matrix})

(bitte wenden)

Weitere Informationen unter http://www.iram.rwth-aachen.de/~enss/DynSys02.html

mit Dämpfungskonstante λ > 0 und (Kreis-)Frequenz ω > 0. Berechnen Sie die zugehörige Melnikov-Funktion

M(τ, φ_{0}) := ∫_{−∞}^{∞}(∇H)(z^{0}(t − τ)) · g(z^{0}(t − τ); φ_{0}/ω + t) dt.

a) In welchen Fällen (Bedingung zwischen ω und λ) gibt es einen nicht entarteten homoklinen Punkt? In welchen Fällen nicht? Hinweis: Nutzen Sie die Integralberechnung aus Aufgabe 42!

b) Was ändert sich, wenn der Dämpfungsterm −λp durch −λp^{2} ersetzt wird?

Präsenzaufgabe A: Sei f: ℝ ⟶ ℝ, f ∈ C^{1}. Geben Sie in jedem Punkt des Graphen von f einen Tangentialvektor an. Wann schneiden sich zwei Tangenten transversal?

Präsenzaufgabe B: Zeigen Sie, dass M(τ, φ_{0}) = M(0, φ_{0} + ωτ) gilt.

Präsenzaufgabe C: Berechnen Sie das Residuum Res(f, z_{0}) von der Funktion f aus Aufgabe 42 an der Polstelle z_{0} = iπ/2.