%----------------------------------------------------------------------
% Dyn-Sys  Wintersemester 2002/03
% Blatt 12
% 2003-02-03 (Beginn)
% 2002-02-03 (letzte Aenderung)
%----------------------------------------------------------------------


\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{german,a4,amsfonts,eucal,amssymb,amsmath}
%\usepackage{rawfonts,pictex,tabularx}
% Zu Testzwecken \label-Markierungen zeigen:
%\usepackage[notref,notcite]{showkeys}

\usepackage{graphicx,picinpar} % Fuer Graphik, etc.
\usepackage{bbm}         % blackboard (see: /usr/share/texmf/mytex/bbm.dvi)

%\usepackage{times}               
%\usepackage{mathptm}
\setlength{\marginparsep}{3pt}

% f"ur kyrillische Schrift
\usepackage[OT2,OT1]{fontenc}
\newcommand\cyr{%
  \renewcommand\rmdefault{wncyr}%
  \renewcommand\sfdefault{wncyss}%
  \renewcommand\encodingdefault{OT2}%
  \normalfont
  \selectfont}
\DeclareTextFontCommand{\textcyr}{\cyr}
 

%----------------------------------------------------------------------
% "Anderungen am Blatt
%----------------------------------------------------------------------

\newcommand{\titel} {"Ubungen zur Vorlesung "`Dynamische Systeme"'}
\newcommand{\semester}{Wintersemester 2002/03}

\newcommand{\datum}{2003-02-03}
\newcommand{\blattnr}{12}
\newcommand{\aufgabennr}{42}    % erste Aufgabennr.

%----------------------------------------------------------------------



%----------------------------------------------------------------------
% Format"anderungen
%----------------------------------------------------------------------

\sloppy
\frenchspacing
\setlength{\topmargin}{-1.5cm}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.5cm}
\setlength{\textwidth}{16.9cm}
\setlength{\textheight}{25.0cm}
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{4pt plus 1pt minus 2pt}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\setcounter{topnumber}{1}
\setcounter{bottomnumber}{2}
\setcounter{totalnumber}{3}
\renewcommand{\topfraction}{0.5}
\renewcommand{\bottomfraction}{0.5}
\renewcommand{\textfraction}{0.1}
\setlength{\textfloatsep}{0.5cm}


\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}     
\renewcommand{\labelenumii}{(\roman{enumii})}
\setlength{\itemsep}{-1pt}
\setlength{\topsep}{-1pt}
\setlength{\partopsep}{-1pt}




%----------------------------------------------------------------------
% Mathematische Zeichen
%----------------------------------------------------------------------
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}

\newcommand{\e}{\ensuremath{\mathrm{e}}}
%\renewcommand{\d}{\ensuremath{\,\mathrm{d}}}

\newcommand{\eins}{\mathbbm 1}                    % Indikatorfunktion

\newcommand{\ii}{\ensuremath{\mathrm{i}}}

\newcommand{\x}{\ensuremath{\mathbf{x}}}
\newcommand{\y}{\ensuremath{\mathbf{y}}}
\newcommand{\z}{\ensuremath{\mathbf{z}}}
\newcommand{\f}{\ensuremath{\mathbf{f}}}
\newcommand{\g}{\ensuremath{\mathbf{g}}}
\newcommand{\p}{\ensuremath{\mathbf{p}}}
\newcommand{\bb}{\ensuremath{\mathbf{b}}}
\newcommand{\uu}{\ensuremath{\mathbf{u}}}
\newcommand{\vv}{\ensuremath{\mathbf{v}}}
\newcommand{\ee}{\ensuremath{\mathbf{e}}}
\newcommand{\0}{\ensuremath{\mathbf{0}}}

\renewcommand{\Re}{\ensuremath{\mathrm{Re}\,}}
\renewcommand{\Im}{\ensuremath{\mathrm{Im}\,}}

\newcommand{\eps}{\ensuremath{\varepsilon}}
\renewcommand{\phi}{\ensuremath{\varphi}}

\newcommand{\bd}{\ensuremath{\partial}}

\newcommand{\Matrix}[1]{\begin{pmatrix} #1 \end{pmatrix} }
\newcommand{\map}[3]{#1 \colon #2 \longrightarrow #3}
\newcommand{\set}[2]{\{#1 \, | \, #2\}}

%\DeclareMathOperator{\rot} {rot}
%\DeclareMathOperator{\div} {div}
\DeclareMathOperator{\Res} {Res}
\DeclareMathOperator{\Per} {Per}
\DeclareMathOperator{\Rec} {Rec}
\DeclareMathOperator{\Nwa} {Nwa}

\newcommand{\hfills}{\hspace*{\fill}}
 

%----------------------------------------------------------------------
% Aufgaben-Macro
%----------------------------------------------------------------------

\newcounter{aufgabe}         % Aufgabenzaehler
\setcounter{aufgabe}{\aufgabennr} % Aufgabennummer oben setzen

\newcounter{praesenz}        % Pr"asenzaufgabenzaehler
\setcounter{praesenz}{1}     % immer neu z"ahlen

\newcommand{\Aufgabe}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Aufgabe~\arabic{aufgabe}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{aufgabe}
}

\newcommand{\Praesenz}[1][{}]
{
  \vspace{0.8cm plus 0.2cm minus 0.3cm}
  \textbf{Pr"asenzaufgabe~\Alph{praesenz}:}
  \textit{{#1}}
  \stepcounter{praesenz}
}

\newcommand{\Hinweis}[1]{\emph{Hinweis: #1}}


%----------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\textsf{\textbf{RWTH Aachen} \hfill {\small \semester}} \\
\textsf{Institut f"ur Reine und Angewandte Mathematik} \hfill
{\small \datum} \\
\textsf{Prof.\ Dr.\ V. En"s/Dr.\ O.\ Post} \hfill
{\small\bf Blatt~\blattnr}

\vspace{5mm plus 5mm minus 3mm}
\begin{center}
{\Large \textbf{\titel}}
\end{center}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Bei der Berechnung der Melnikov-Funktion ({\cyr Melp1nikov}) zum periodisch
gest"orten Duffing-Oszillator tritt das Integral
\begin{displaymath}
  I:= \int_{-\infty}^\infty f(t) \, dt, \qquad
  f(t) := \cos (\omega t) / \cosh t
\end{displaymath}
auf. Zeigen Sie, dass $I=\pi/\cosh(\omega \pi/2)$ gilt, indem Sie folgende
Schritte beweisen:

(i) Zeigen Sie, dass $f$ f"ur jedes $a>0$ genau eine einfache Polstelle $z_0=i
\pi/2$ im Rechteck $C:=[-a,a]+[0,i\pi] \subset \C$ hat.

(ii) Zeigen Sie, dass
\begin{displaymath}
  \bigl| 
    \int_0^\pi \frac{\cos (\omega(\pm a + iy))}{\cosh (\pm a + i y)} dy 
  \bigr| \le
  \frac \pi 2 \e^{-a}
\end{displaymath}
gilt.

(iii) Zeigen Sie, dass
\begin{displaymath}
  \int_{a+i\pi}^{-a+i \pi} f(z) \, dz = 
   \cosh(\pi \omega) \int_{-a}^a f(x) \, dx
\end{displaymath}
gilt.

(iv) Folgern Sie aus dem Residuensatz $\int_{\bd C} f(z)\, dz = 2\pi i
\Res(f,z_0)$ die Behauptung. \Hinweis{Es gilt $1+\cosh(u)=2\cosh^2(u/2)$.}

 
%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe

Sei $\map \phi {\R^2} {\R^2}$, $(\mu,\tau) \mapsto \phi(\mu,\tau)$, $\phi \in
C^2$, $\phi(0,\tau)=0$ f"ur alle $\tau$, und $\partial_\mu \phi(0,\tau)$ habe
bei $\tau_0$ eine einfache Nullstelle. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
\item Es gibt ein $\mu_0>0$, so dass f"ur jedes $\mu$ mit $0 < |\mu| \le
  \mu_0$ die Funktion $\phi(\mu,\cdot)$ eine einfache Nullstelle $\tau_\mu$
  nahe $\tau_0$ hat.
\item Sei $\map \psi {\R^2} {\R^2}$, $\psi \in C^1$. F"ur jedes $\mu$ mit $0 <
  |\mu| \le \mu_0$ schneiden sich die Tangenten an die Graphen von $\psi(\mu,
  \cdot)$ und $(\psi(\mu, \cdot) + \phi(\mu, \cdot))$ im Punkt $\tau_\mu$
  transversal.
\end{enumerate}


%----------------------------------------------------------------------
\Aufgabe Sei $H(x,p):=p^2/2 + \cos x - 1$ die Hamilton-Funktion zum
mathematischen Pendel ($x=0$ entspricht der oberen Gleichgewichtslage). Das
zugeh"orige Vektorfeld $\hat \f$ hat eine homokline Bahn gegeben durch
$\z^0(t)=(x^0(t),p^0(t))^\mathrm T$ mit $x^0(t)=4\arctan(\e^t)$ und
$p^0(t)=4\e^t/(1+\e^{2t})=2/\cosh t$ (vgl.\ Aufgabe~28). Wir betrachten das
periodisch gest"orte Vektorfeld $\f(\mu, \z ; t) := \hat \f(\z) + \mu \g (\z;
t)$ mit
\begin{displaymath}
  \g(\z; t) = \g(x,p; t) = \Matrix{0 \\ \sin (\omega t) - \lambda p}
\end{displaymath}
\vspace*{\fill}
\hspace*{\fill}\emph{(bitte wenden)}


 \vspace{2mm} {\small Weitere Informationen unter
    \texttt{http://www.iram.rwth-aachen.de/\~{\vspace{1ex}}enss/DynSys02.html}}

\pagebreak
mit D"ampfungskonstante $\lambda>0$ und (Kreis-)Frequenz $\omega>0$.

Berechnen Sie die zugeh"orige Melnikov-Funktion
\begin{displaymath}
  M(\tau,\phi_0):= \int_{-\infty}^\infty (\mathbf \nabla H)(\z^0(t-\tau)) \cdot
\g (\z^0(t-\tau); \phi_0/\omega + t) \, dt.
\end{displaymath}
\begin{enumerate}
\item In welchen F"allen (Bedingung zwischen $\omega$ und $\lambda$) gibt es
  einen nicht entarteten homoklinen Punkt? In welchen F"allen nicht?
  \Hinweis{Nutzen Sie die Integralberechnung aus Aufgabe~42!}
\item Was "andert sich, wenn der D"ampfungsterm $-\lambda p$
  durch $-\lambda p^2$ ersetzt wird?
\end{enumerate}

%----------------------------------------------------------------------
%\Aufgabe

%----------------------------------------------------------------------
% Pr"asenzaufgaben
%----------------------------------------------------------------------
% \begin{center}
% {\large \textbf{Pr"asenzaufgaben}}
% \end{center}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}


%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Sei $\map f \R \R$, $f \in C^1$. Geben Sie in jedem Punkt des Graphen von $f$
einen Tangentialvektor an. Wann schneiden sich zwei Tangenten transversal?

%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Zeigen Sie, dass $M(\tau, \phi_0) = M(0, \phi_0+\omega \tau)$ gilt.

%\enlargethispage*{2cm}
%----------------------------------------------------------------------
\Praesenz
Berechnen Sie das Residuum $\Res(f,z_0)$ von der Funktion $f$ aus Aufgabe~42
an der Polstelle $z_0=i\pi/2$.


%\begin{center}
%  \includegraphics[scale=0.5]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild.ps}

%  \includegraphics[scale=0.7]
%  {/home/post/Mathematik/Uebungen/dyn-sys/blatt02-bild2.ps} \quad
%  \parbox[b]{8cm}{\dots}
%\end{center}

%----------------------------------------------------------------------
% \vfill \textbf{Hinweis:} Die "Ubung findet \textbf{montags von 15.45 bis
% 17.15
%   Uhr im Raum~224} im Anschluss an die Vorlesung statt. Die Aufgabenbl"atter
% werden in der Regel mittwochs in der Vorlesung verteilt. In der folgenden
% "Ubung werden die Pr"asenzaufgaben bearbeitet. Die Aufgaben (mit arabischen
% Ziffern) sind als Hausaufgaben gedacht und k"onnen in der darauf\/folgenden
% "Ubung abgegeben werden. Pro Aufgabe gibt es vier Punkte. F"ur den
% "Ubungsschein ist die H"alfte der Gesamtpunktzahl erforderlich.
  
% Olaf Post ist im Raum~234 (Hauptgeb"aude) und unter der Telefonnummer
% 80-9~45~13 sowie per Rechner unter \texttt{post@iram.rwth-aachen.de} zu
% erreichen, insbesondere in der Sprechstunde dienstags von 13 bis 14 Uhr.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

