% Dokumentenklasse für die Lösungen der Übungsaufgaben.
% Es werden einige nützliche Kommandos definiert.

\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
\ProvidesClass{aufgaben}[2003/03/17 v.13 Pauls Mathe-Übungsaufgaben]

\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{article}}
\ProcessOptions\relax

\LoadClass[draft, 11pt, a4paper]{article}

\RequirePackage[latin1]{inputenc}
\RequirePackage[sumlimits]{amsmath}
\RequirePackage{amssymb}  % Mathematische Symbole
\RequirePackage{verbatim}
\RequirePackage{enumerate}
\RequirePackage{amsthm}
%\RequirePackage{txfonts}

%% \rrbracket, \llbracket
\RequirePackage{stmaryrd}

\RequirePackage{ngerman}

\setcounter{secnumdepth}{-1}

\sloppy


%%%%% 

\newcommand{\titelundco}[2]
{
  \title{#1 \\ Übungsaufgaben Serie #2}
  \author{Paul Ebermann (165588)}
  \maketitle
  \ \hrulefill
  \tableofcontents
}

%%% Der assoziierte reduzierte Ring eines Ringes
\newcommand{\red}[1]{{{#1}_{\operatorname{red}}}}

%%% Das Herz eines Ringes:
\newcommand{\herz}[1]{{{#1}^\bullet}}

%%% Das Nil-Radikal
\DeclareMathOperator{\Nil}{Nil}

%%% Das Jacobson-Radikal (Schnittmenge aller Maximalideale)
\DeclareMathOperator{\Jac}{Jac}

%%% Extensionsideal
\newcommand{\ext}{{\operatorname{ext}}}

%%% Eine irgend etwas mit Algebren ...
\DeclareMathOperator{\Alg}{Alg}
%%% irgend etwas toplologisches
\DeclareMathOperator{\Top}{Top}
%%% Krull
\DeclareMathOperator{\Krull}{Krull}

%%% Die Menge der offenen Mengen eines topologischen Raumes
\newcommand{\Off}{\underline{\operatorname{Off}}}
%%% Die Menge der abgeschlossenen Mengen eines
%%% topologischen Raumes
\newcommand{\Abg}{\underline{\operatorname{Abg}}}

%%% ----------------------

%%% <) (Winkel-Symbol)
\newcommand\winkel\sphericalangle
%%% Möbiusband
\DeclareMathOperator{\Mob}{M\ddot{o}b}
%%% Das innere einer Menge.
\DeclareMathOperator{\Int}{int}
%%% Divergenz eiens Vektorfeldes
\DeclareMathOperator{\Div}{div}

%%% Träger (z.B. eines Vektorfeldes)
\DeclareMathOperator{\supp}{supp}


%%% Tensorprodukt
\newcommand{\tensor}{\protect\operatorname{\otimes}\limits}

\newcommand{\Altprod}{\protect\bigwedge}
\newcommand{\altprod}{\protect\wedge}
\newcommand{\symprod}{\protect\odot}

%%% Senkrecht-Symbol:
\newcommand{\ortho}{\protect\perp}

%%% affiner Raum der kovarianten Ableitungen
\DeclareMathOperator{\Cor}{Cor}

\DeclareMathOperator{\cut}{cut}


%%% Ricci-Krümmung
\newcommand{\Ricc}{\mathcal{R}ic}
\newcommand{\Ric}{\protect\Ricc}
%%% Skalarkrümmung
\newcommand{\SkKr}{\protect\mathcal{R}}
%%% Krümmungstensor
\newcommand{\Krumm}{\protect\mathcal{R}}

%%%% --------------

%%% Verschiedene enum-Umgebungen
\newenvironment{enumabc}{\ \begin{enumerate}[(a)]}{\end{enumerate}}
\newenvironment{enumnum}{\ \begin{enumerate}[(1)]}{\end{enumerate}}
\newenvironment{enumiii}{\ \begin{enumerate}[(i)]}{\end{enumerate}}

\newcommand{\newLineAfterItem}{\ \\}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Definition}{}{}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{satz}{Satz}{}{}
\newtheorem*{satz*}{Satz}{}{}
\newtheorem*{lemma}{Lemma}

\newenvironment{beweis}{\begin{proof}[Beweis]}{\end{proof}}

    %  \sref{<sNr>}
    % --------------
    % Gibt "(nach Satz <sNr> der Vorlesung)" aus.
    %
    % Der eine Parameter sollte eine Nummer des Satzes (ggf. mit Kapitelnummer)
    % darstellen.
\newcommand{\sref}[1]
{(nach Satz #1 der Vorlesung)}

\newcommand{\oBdA}{ohne Beschränkung der Allgemeinheit }
\newcommand{\OBdA}{Ohne Beschränkung der Allgemeinheit }


\setlength{\unitlength}{1 cm}

    %  \qed
    % ------
    %
    % gibt rechtsb\"{u}ndig ein K\"{a}stchen aus.
    % Dies wird gew\"{o}hnlich am Ende eines Beweises verwendet.
    %
\providecommand{\qed}{\hfill $\square $ \par}

%%%%%%%%%% Zahlen-Mengen-Symbole %%%%%%%%%%%%


\newcommand{\nl}{\displaybreak[0]\\}


    %  \limu{<varname>}
    % -------------------
    %
    % der Limes f\"{u}r <varname> gegen unendlich.
    %
\newcommand{\limu}[1]
{
    \lim\limits_{{#1\rightarrow\infty}}
}

\newcommand{\limsupu}[1][n]
{
    \limsup\limits_{{#1\rightarrow\infty}}
}
\newcommand{\liminfu}[1][n]
{
    \liminf\limits_{{#1\rightarrow\infty}}
}

\newcommand{\limt}[2]
{
   {\lim\limits_{{#1 \rightarrow #2}}}
}

\newcommand{\suml}{\sum\limits}

\newcommand{\diffqu}[3]
{
   \limt{#1}{#2} \frac{ #3(#1) - #3(#2) }{#1 - #2}
}

\newcommand{\ddt}{{\frac{d}{dt}}}
\newcommand{\ddx}{{\frac{d}{dx}}}

%%%   x
%%% -----
%%% ||x||
%%%
\newcommand{\normiert}[1]{
   \frac{ #1 }{ \norm{ #1 } }
}

%%%  
%%%   <x, y> * y
%%%
\newcommand{\basiskomponente}[2]{
   \skProd{#1}{#2} \cdot #2
}


    %  \C
    % ----
    % Symbol f\"{u}r die komplexen Zahlen.
    %
    % wenn ich irgendwann das richtige Symbol habe, werde ich es hier ersetzen.
    %
    % Jetzt habe ich die Alternative. (15:12 14.12.2000)
    %
%\newcommand{\C}
%  \ensuremath
%  {
%     \hspace{0.2em}
%     \mbox{\small{\textsf{l}}}
%     \hspace{-0.45em}
%     \mathsf{C}
%     \hspace{0.1em}
%  }
%}
\newcommand{\C}{\protect\mathbb{C}}

    %  \R
    % ----
    % Symbol f\"{u}r die reellen Zahlen.
    %
\newcommand{\R}{\protect\mathbb{R}}

    %  \N
    % ----
    % Symbol f\"{u}r die nat\"{u}rlichen Zahlen.
    %
\newcommand{\N}{\protect\mathbb{N}}

    %  \N0
    % ----
    % Symbol f\"{u}r die nat\"{u}rlichen Zahlen mit 0.
    %
\newcommand{\No}{\protect\ensuremath{\N_0}}

    %  \Q
    % ----
    % Symbol f\"{u}r die rationalen Zahlen.
    %
\newcommand{\Q}{\protect\mathbb{Q}}

    %  \Z
    % ----
    % Symbol f\"{u}r die ganzen Zahlen.
    %
\newcommand{\Z}{\protect\mathbb{Z}}

    %  \K
    % ----
    % Symbol für einen beliebigen Körper, meist K = C oder K = R.
    % 
\newcommand{\K}{\protect\mathbb{K}}

%% Schiefkörper der Quaternionen
\newcommand{\Quat}{\protect\mathbb{H}}

%% Symbol für "`Unendlich"'.
\newcommand{\oo}{\infty}

\newcommand{\kringel}{\circ}

    %  \Pot
    % ------
    % Symbol f\"{u}r die Potenzmenge einer Menge.
    %
\newcommand{\Pot}{\mathcal{P}}

    % \R und +- oo.
\newcommand{\Num}{\overline{\R}}


    % gibt die angegebenen Buchstaben in Fraktur aus.
\newcommand{\Vek}[1]{\mathfrak{#1}}


\newcommand{\aff}[1]{\mathcal{#1}}


\newcommand{\Riem}{\mathcal{R}}

\newcommand{\T}{\protect\mathcal{T}}
\newcommand{\blank}{\protect\square}
\newcommand{\laplace}{\triangle}

\newcommand{\A}{\protect\mathcal{A}}
\newcommand{\Ring}{\protect\mathcal{R}}
% Menge der Borelmengen in einem metr. Raum
\newcommand{\Borel}{\mathcal{B}}
% Menge der offenen Mengen in einem metr. Raum
\newcommand{\Offen}{\mathcal{O}}
% Menge der kompakten Mengen in einem metr. Raum
\newcommand{\Kompakt}{\mathcal{K}}
% Menge der abgeschlossenen Mengen in einem metr. Raum
\newcommand{\Abgeschlossen}{\mathcal{F}}
% Menge der halboffenen Quader in einem R^n
\newcommand{\Quader}{\mathcal{E}}
%% Menge der Lebesgue-Mengen 
\newcommand{\Lebesgue}{\mathcal{L}}
%% Menge der Funktionen, die fast überall 0 sind
\newcommand{\Null}{\mathcal{N}}

%% Menge der (glatten) Vektorfelder.
\newcommand{\VF}{\protect\mathfrak{X}}

\newcommand{\Par}{\protect\mathcal{P}}

    %  \Perm
    % -------
    % Symbol f\"{u}r die Permutationsmenge einer Menge (also die Menge der Bijektionen).
    %
\newcommand{\Perm}{\mathfrak{S}}

  % Lineare Hülle
\newcommand{\Lin}{\mathcal{L}}

  % der griechische Buchstabe My
\newcommand{\my}{\mu}
\newcommand{\My}{\Mu}

  % der griechische Buchstabe Ny
\newcommand{\ny}{\nu}
\newcommand{\Ny}{\Nu}

\newcommand{\eps}{\varepsilon}

    % Betrag          | x |
\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert}

    % Argument (Winkel) einer komplexen Zahl
\renewcommand{\arg}{\sphericalangle}

    % Norm            || x ||
\newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}

    % Skalarprodukt   <x,y>
\newcommand{\skProd}[2]{\left<#1, #2\right>}

    % von ... erzeugte Untergruppe:
    %                 <x>
\newcommand{\erzUG}[1]{{\left<{ #1 }\right>}}

    % konjugiert komplex:   __
    %                       x
\newcommand{\konj}[1]{{\overline{{#1}}}}

    % runde Klammern     (x)
\newcommand{\klamm}[1]{{\left({#1}\right)}}

    % geschweifte Klammern   {x}
\newcommand{\menge}[1]{{\left\{ {#1} \right\}} }

\newcommand{\menget}[1]{\menge{\text{ #1 }} }

    %                                 oo
    % Folge: \folge{x_n}{n}  =>  {x_n}
    %                                 n=1
    %
\newcommand{\folge}[2]{\left\{ #1 \right\}_{#2 = 1}^\infty}

    %
    % Eckige Klammern            [x]
    %
\newcommand{\eckKl}[1]{\left[ #1 \right] }

\newcommand{\?}[1]{\left\llbracket{#1}\right\rrbracket}

\newcommand{\affH}[1]{{\erzUG{#1}_{\text{aff}}}}

\newcommand*{\voll}[2]{\overline{#1}^{#2}}


    %
    % Integral mit Grenzen, die darüber/darunter geschrieben sind.
    %
\newcommand{\intl}{\int\limits}

%%\newcommand{\intk}[1]{\left\int #1 \right.}


%%%%%%%%%%% Matrizen und Spalten-Vektoren %%%%%%%%%%%%

    %
    %  (2,2)-Matrix mit den angegebenen Werten als Einträge.
    %
\newcommand{\zzmatr}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix}}

\newcommand{\ddmatr}[9]
{ \begin{pmatrix} #1 & #2 & #3 \\ #4 &#5 &#6 \\ #7 & #8 & #9 \end{pmatrix}}


%%% Es sind höchstens 9 Parameter erlaubt.

%%%\newcommand{\vvmatr}[16]
%%%{
%%%   \begin{pmatrix}
%%%     #1 & #2 & #3 & #4 \\
%%%     #5 & #5 & #7 & #8 \\
%%%     #9 & #10 & #11 & #12 \\
%%%     #13 & #14 & #15 & #16 
%%%   \end{pmatrix}
%%%}

%% Spalten-Vektor mit 3 Komponenten
\newcommand{\vectdr}[3]
{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix} }

\newcommand{\vectvi}[4]
{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3\\#4 \end{pmatrix} }

%%\newcommand{\vzeile}[4]{#1 & #2 & #3 & #4 }

%% Spalten-Vektor mit 5 Komponenten
\newcommand{\vectfu}[5]
{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3\\ #4 \\ #5 \end{pmatrix}}

\newcommand{\jacobi}[4]{
   \begin{pmatrix}
     \Part{{#1}_1}{#2} & \Part{{#1}_1}{#3} & \Part{{#1}_1}{#4} \\
     \Part{{#1}_2}{#2} & \Part{{#1}_2}{#3} & \Part{{#1}_2}{#4} \\
     \Part{{#1}_3}{#2} & \Part{{#1}_3}{#3} & \Part{{#1}_3}{#4}
   \end{pmatrix} }

\newcommand{\jacobizz}[5]{
   \begin{pmatrix}
     \Part{#1}{#3}(#5) & \Part{#1}{#4}(#5) \\
     \Part{#2}{#3}(#5) & \Part{#2}{#4}(#5) \\
   \end{pmatrix} }



%% partialle Ableitung von #1 nach #2
\newcommand{\Part}[2]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}
\newcommand{\parti}[3]{\frac{\partial^2 #1}{\partial #2 \partial #3}}
\newcommand{\parto}[1]{\frac{\partial}{\partial #1}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Einige Pfeile %%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\bijekt}
{
    \widetilde{\longrightarrow}\hspace{0.3em}
}

\newcommand{\surj}{\twoheadrightarrow}
\newcommand{\inj}{\hookrightarrow}

    % Doppelpfeil für gleichmäßige Konvergenz.
\newcommand{\konvgl}{\rightrightarrows}

    % Breiter Pfeil in beide Richtungen.
    % für "genau dann, wenn"
\newcommand{\gdw}{\protect\Leftrightarrow}
\newcommand{\longgdw}{\Longleftrightarrow}

\newcommand{\folgt}{\Rightarrow\quad}
\newcommand{\folgtx}{\ensuremath{\Rightarrow}}

\newcommand{\defeq}{\coloneqq}

\newcommand{\longto}{\longrightarrow}

\newcommand{\tausch}[2]{\klamm{#1 \leftrightsquigarrow #2}}
\newcommand{\tauschq}{\tausch{\square}{\square}}


%%%
%%% Schräger Pfeil hoch oder runter.
%%%
\newcommand{\upto}{\small{\nearrow}}
\newcommand{\downto}{\small{\searrow}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%% Diverse Symbole %%%%%%%%%%


%% Kovarianz
\DeclareMathOperator{\cov}{cov}

\DeclareMathOperator{\cl}{cl}

    % Menge der Abbildungen zwischen 2 Mengen
\DeclareMathOperator{\Abb}{Abb}
    % Periodenmenge einer Abbildung
\DeclareMathOperator{\Per}{Per}
    % Fixpunktmenge einer Permutation
\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix}
    % kleinstes gemeinsames Vielfaches
\DeclareMathOperator{\kgV}{kgV}
    % gr\"{o}{\ss}ter gemeinsamer Teiler
\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT}
    % Menge der Homomorphismen zwischen 2 Gruppen
\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
    % Menge der Endomorphismen auf einer Gruppe
\DeclareMathOperator{\End}{End}
    % Menge der Primelemente eines Ringes.
\DeclareMathOperator{\Prim}{Prim}
    % Menge der irreduziblem Elemente eines Ringes.
\DeclareMathOperator{\Irr}{Irr}
    % Automorphismengruppe einer Gruppe.
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
    % Kommutator-Untergruppe einer Gruppe
\DeclareMathOperator{\Comm}{Comm}
    % Die Ordnung eines Elements einer Gruppe.
\DeclareMathOperator{\ord}{ord}

\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\dist}{dist}
\DeclareMathOperator*{\const}{const}
\DeclareMathOperator{\arcosh}{arcosh}
\DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh}
\DeclareMathOperator{\artanh}{artanh}
\DeclareMathOperator{\arcoth}{arcoth}
\DeclareMathOperator{\Mod}{Mod}
\DeclareMathOperator{\id}{id}
\DeclareMathOperator{\Const}{Const}
\DeclareMathOperator{\Zent}{Zent}
\DeclareMathOperator{\Poly}{Poly}
\DeclareMathOperator{\Ann}{Ann}
\DeclareMathOperator{\codim}{codim}
\DeclareMathOperator{\Span}{span}

\DeclareMathOperator{\Mono}{Mono}
\DeclareMathOperator{\Epi}{Epi}
\DeclareMathOperator{\Isom}{Isom}
\DeclareMathOperator{\Surj}{Surj}

\DeclareMathOperator{\Tors}{Tors}
\DeclareMathOperator{\NNT}{NNT}
\DeclareMathOperator{\Trig}{Trig}

\DeclareMathOperator{\grad}{grad}

\DeclareMathOperator{\coker}{coker}

\DeclareMathOperator{\Rg}{Rg}

\DeclareMathOperator{\Los}{Lös}
\DeclareMathOperator{\Char}{char}
\DeclareMathOperator{\card}{card}
\DeclareMathOperator{\pp}{p.p.}
\DeclareMathOperator{\Spur}{Spur}

\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}
\DeclareMathOperator{\Specm}{Specm}

\DeclareMathOperator{\im}{im}
\DeclareMathOperator{\Sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\Alt}{Alt}

\DeclareMathOperator{\Var}{Var}

%%% Diskriminante
\DeclareMathOperator{\diskr}{diskr}

%%% Konvexe Hülle
\DeclareMathOperator{\conv}{conv}

%%% Spektrum einer Matrix/linearen Abbildung
\DeclareMathOperator{\Spekt}{Spekt}
%%% Eigenraum einer Matrix/linearen Abbildung
\DeclareMathOperator{\Eig}{Eig}
%%% Spur einer Matrix/linearen Abbildung
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}

%%% Die zu einer Matrix adjungierte Matrix.
\DeclareMathOperator{\Adj}{Adj}

%%% Volumen eines Quaders
\DeclareMathOperator{\vol}{vol}


%%%% \DeclareMathOperator{\Real}{Re}
%%%% \DeclareMathOperator{\Imag}{Im}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


    %  \aufgabe{<Nr>}{<aufgtext>}
    % ----------------------------
    % Zur netten Formatierung der Aufgaben
    %
    % Zeigt fett "Aufgabe <Nr>" an, danach den
    % <aufgtext>. Das Ganze wird in einen Rahmen gesteckt.
\newcommand{\aufgabe}[2]
{
    \newpage
    \noindent
    \addcontentsline{toc}{section}{Aufgabe #1}
%  \section{Aufgabe #1}
    \fbox
    {
        \begin{minipage}{12cm}
            \textbf{Aufgabe #1}

            #2
        \end{minipage}
    }
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

    %  \myfntext{<text>}
    % ----------------
    %
    % kann in Kombination mit \myfnmark statt \footnotetext{<text>} verwendet werden,
    %  um den Text einer Fu{\ss}note vor der Markierung der Fu{\ss}note anzubringen.
    %
\newcommand{\myfntext}[1]
{
    \addtocounter{footnote}{+1}
    \footnotetext{#1}
}

    %  \myfnmark
    % -----------
    %
    % kann in Kombination mit \myfntext statt \footnotemark verwendet werden,
    %  um den Text einer Fu{\ss}note vor der Markierung der Fu{\ss}note anzubringen.
    %
\newcommand{\myfnmark}
{
    \addtocounter{footnote}{-1}
    \footnotemark
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\endinput

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% End: 
