Seminarvortrag Differentialgeometrie: Rotationsflächen konstanter Gaußscher Krümmung

Paul Eberman, Jens Körner, Marta Vitalis 10. Juni 2002

Inhaltsverzeichnis

0 Vorbemerkung 2 1 Einführung 2 2 Erste Fundamentalform 2 3 Verträgliche Normalenvektoren 3 4 Zweite Fundamentalform 4 5 Krümmungsgrößen 5

(1) Hauptkrümmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 (2) Gauß- und mittlere Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 (3) Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Scheinbare Degeneration 6 7 Drehflächen mit konstanter Gaußscher Krümmung K 7

(1) K=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 (2) K > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 (3) K < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

8 Quellen 10

0 Vorbemerkung

Wir verwenden in unseren Formeln als Bild- und Urbildmengen immer ℝ bzw. ℝ^{n}. In Wirklichkeit sind hier immer auch nichtleere Teilmengen davon zugelassen, wir schreiben nur ℝ^{n}, damit klarer wird, welche Dimension der jeweilige Raum hat, und um die Leser nicht durch ständig neue Mengen U, V, W, etc. zu verwirren.

1 Einführung

Drehflächen entstehen im ℝ^{3} durch Rotation einer ebenen (ℝ^{2}-)Kurve um eine Dreh-Achse. Bekannte Beispiele sind Sphären, Zylinder, Tori.

Vereinbarung. Wir wollen stets um die z-Achse rotieren lassen.

Seien r, h : ℝ ⟶ ℝ C^{∞}-Funktionen, also

(r, h) : ℝ ⟶ ℝ^{2}
t ⟼ (r(t), h(t))

Parametrisierung einer Kurve im ℝ^{2}. Wir betten diese Kurve in die x, z-Ebene des ℝ^{3} ein

ℝ ⟶ ℝ × {0} × ℝ ⊂ ℝ^{3}
t ⟼ (r(t), 0, h(t))

und rotieren diese Kurve um einen Winkel ρ ∈ [0, 2π) ⊂ ℝ, was durch Multiplikation mit der Drehmatrix D_{ρ} bewirkt wird. Wir erhalten

f : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{3}
(t, ρ) ⟼ f(t, ρ) := D_{ρ} · (r, 0, h)^{T} (t)

= (\begin{matrix}cos ρ & − sin ρ & 0 \\ sin ρ & cos ρ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) · (\begin{matrix}r(t) \\ 0 \\ h(t) \end{matrix})

= (r(t) cos ρ, r(t) sin ρ, h(t))

Definition.

S := f(ℝ^{2}) = {(r(t) cos ρ, r(t) sin ρ, h(t)) ∈ ℝ^{3} | ρ, t ∈ ℝ}

heißt Rotationsfläche im ℝ^{3}.

Im Folgenden berechnen wir die Krümmungsgrößen derartiger Flächen.

2 Erste Fundamentalform

Die dafür nötigen partiellen Ableitungen ergeben sich zu

\frac{∂f}{∂t} (t, ρ) = (r′(t) cos ρ, r′(t) sin ρ, h′(t))
\frac{∂f}{∂ρ} (t, ρ) = (−r(t) sin ρ, r(t) cos ρ, 0)

Die erste Fundamentalform ist damit

I = (\begin{matrix}⟨\frac{∂f}{∂t} , \frac{∂f}{∂t} ⟩ & ⟨\frac{∂f}{∂ρ} , \frac{∂f}{∂t} ⟩ \\ ⟨\frac{∂f}{∂t} , \frac{∂f}{∂ρ} ⟩ & ⟨\frac{∂f}{∂ρ} , \frac{∂f}{∂ρ} ⟩ \end{matrix})

= (\begin{matrix}r^{′2} + h^{′2} & 0 \\ 0 & r^{2} \end{matrix})

Bemerkung 1. Wie wir sehen, ist I(t, ρ) =: I(t) im Falle von Rotationsflächen mit dieser Parametrisierung nur von t abhängig. Damit können wir schreiben:

I : ℝ ⟶ Bil(ℝ^{2}) ≅ ℝ^{2×2}
t ⟼ I(t) = (\begin{matrix}r^{′2}(t) + h^{′2}(t) & 0 \\ 0 & r^{2}(t) \end{matrix})
= I_{f(t,ρ)}
I(t) : ℝ^{2} × ℝ^{2} ⟶ ℝ

(vgl. Vortrag ”Reguläre Flächen“.)

Ist r(t) ≠ 0 ∀t ∈ ℝ und die Ausgangskurve regulär, d.h. r′(t) ≠ 0 ≠ h′(0) ∀t, so folgt r′(t)^{2} + h′(t)^{2} > 0 ∀t, also I(t) reguläre Matrix für alle t. f heißt dann Immersion.

3 Verträgliche Normalenvektoren

Das mit der Parametrisierung verträgliche Normalenvektorfeld (in unserer Parametrisierung) ergibt sich als

v : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{3}
v = N ∘ f,

wobei hier N : S ⟶ ℝ^{3} die (mit f verträgliche) Gauß-Abbildung zu S ist.

v = \frac{\frac{∂f}{∂t} × \frac{∂f}{∂ρ}}{∥\frac{∂f}{∂t} × \frac{∂f}{∂ρ} ∥}

v(t, ρ) = (\begin{matrix}r′(t) sin ρ · 0 − h′(t) · r(t) cos ρ \\ h′(t) · (−r(t) sin ρ) − r′(t) cos ρ · 0 \\ r′(t) cos ρ · r(t) cos ρ − r′(t) sin(ρ) · (−r(t) sin(ρ)) \end{matrix}) ; ∥(\begin{matrix}r′(t) sin ρ · 0 − h′(t) · r(t) cos ρ \\ h′(t) · (−r(t) sin ρ) − r′(t) cos ρ · 0 \\ r′(t) cos ρ · r(t) cos ρ − r′(t) sin(ρ) · (−r(t) sin(ρ)) \end{matrix})∥

= (\begin{matrix}−h′(t)r(t) cos ρ \\ −h′(t)r(t) sin ρ \\ r′(t)r(t) \end{matrix}) ; \sqrt{(h′(t)r(t) cos ρ)^{2} + (h′(t)r(t) sin ρ)^{2} + (r′(t)r(t))^{2}}

= \frac{r(t) · (\begin{matrix}−h′(t) cos ρ \\ −h′(t) sin ρ \\ r′(t) \end{matrix})}{\sqrt{(h′(t)^{2}r(t)^{2} + r′(t)^{2}r^{2})}}

Die Normalenvektoren lassen sich also darstellen als

v(t, ρ) = \frac{1}{\sqrt{h′(t)^{2} + r′(t)^{2}}} · (\begin{matrix}−h′(t) cos ρ \\ −h′(t) sin ρ \\ r′(t) \end{matrix})

4 Zweite Fundamentalform

Die für die zweite Fundamentalform nötigen zweiten partiellen Ableitungen ergeben sich zu

\frac{∂^{2}f}{∂t∂t} = (r′′(t) cos ρ, r′′(t) sin ρ, h′′(t)
\frac{∂^{2}f}{∂t∂ρ} = (r′(t) sin ρ, r′(t) cos ρ, 0)
\frac{∂^{2}f}{∂ρ∂ρ} = (−r cos ρ, −r sin ρ, 0)

Wir erhalten die zweite Fundamentalform als

II = (\begin{matrix}⟨v, \frac{∂^{2}f}{∂t∂t}⟩ & ⟨v, \frac{∂^{2}f}{∂t∂ρ}⟩ \\ ⟨v, \frac{∂^{2}f}{∂ρ∂t}⟩ & ⟨v, \frac{∂^{2}f}{∂ρ∂ρ}⟩ \end{matrix}) ,

wobei für die Einträge gilt

⟨v, \frac{∂^{2}f}{∂t∂t}⟩ (t, ρ) = \frac{−h′(t) cos ρ · r′′(t) cos ρ + r′′(t) sin ρ · (−h′(t) sin ρ) + h′′(t)r′(t)}{\sqrt{h′(t)^{2} + r′(t)^{2}}}

= \frac{−h′(t)r′′(t) + h′′(t)r′(t)}{\sqrt{h′(t)^{2} + r′(t)^{2}}}

⟨v, \frac{∂^{2}f}{∂ρ∂t}⟩ (t, ρ) = \frac{−r′(t) sin ρ · (−h′(t) cos ρ) + (−h′ sin ρ) · r′(t) cos ρ + 0 · r′(t)}{\sqrt{h′(t)^{2} + r′(t)^{2}}}

= 0

⟨v, \frac{∂^{2}f}{∂ρ∂ρ}⟩ (t, ρ) = \frac{−r(t) cos ρ(−h′(t) cos ρ) + (−h′(t) sin ρ)(−r(t) sin ρ) + 0}{\sqrt{h′(t)^{2} + r′(t)^{2}}}

= \frac{r(t)h′(t)}{\sqrt{h′(t)^{2} + r′(t)^{2}}}

Es ist also (offensichtlich wieder unabhängig von ρ) die zweite Fundamentalform

II = \frac{1}{\sqrt{h^{′2} + r^{′2}}} · (\begin{matrix}−h′r′′ + h′′r′ & 0 \\ 0 & rh′ \end{matrix})
II : ℝ ⟶ Bil(ℝ^{2}) ≅ ℝ^{2×2}
II(t) : ℝ^{2} × ℝ^{2} ⟶ ℝ

5 Krümmungsgrößen

(1) Hauptkrümmungen

Die Hauptkrümmungen κ_{1} und κ_{2} ergeben sich als Eigenwerte der negativen Weingartenabbildung −dN. Ihre Matrix bezüglich II und I ist

II · I^{−1} = \frac{1}{\sqrt{h^{′2} + r^{′2}}} (\begin{matrix}\frac{−r′′h′+r′′h′′}{h^{′2}+r^{′2}} & 0 \\ 0 & \frac{rh′}{r^{2}} \end{matrix} )

Die beiden Hauptkrümmungen sind also (ebenfalls von ρ unabhängig)

κ_{1} = \frac{−r′′h′ + r′h′′}{(h^{′2} + r^{′2})^{\frac{3}{2}}} : ℝ ⟶ ℝ

κ_{2} = \frac{h′}{r · \sqrt{h^{′2} + r^{′2}}} : ℝ ⟶ ℝ

Sei nun (r, h) (also die – rotierende – ebene Kurve) nach Bogenlänge parametrisiert. Also ist 1 = ∥(r, h)′∥ = r^{′2} + h^{′2}. Für die Fundamentalformen ergibt sich

I = (\begin{matrix}r^{′2} + h^{′2} & 0 \\ 0 & r^{2} \end{matrix})

= (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & r^{2} \end{matrix})

II = \frac{1}{\sqrt{h^{′2} + r^{′2}}} · (\begin{matrix}−h′r′′ + h′′r′ & 0 \\ 0 & rh′ \end{matrix})

= (\begin{matrix}−h′r′′ + h′′r′ & 0 \\ 0 & rh′ \end{matrix})

also

κ_{1} = −h′r′′ + h′′r′
κ_{2} = \frac{h′}{r}

Lemma. Die erste Hauptkrümmung κ_{1} der Drehfläche S ist genau die Krümmung κ der ℝ^{2}-Kurve t ↦ (r(t), h(t)).

Beweis. Nach den Frenetgleichungen gilt für das Frenet-Koordinatensystem (“Zweibein”) e_{1}, e_{2} : ℝ ⟶ ℝ^{2}:

e′_{1} = κe_{2}  e′_{2} = κe_{1}  und
e_{1} = (r′, h′)  e′_{1} = (r′′, h′′)  e_{2} = (−h′, r′)

also

κ = ⟨e′_{1}, e_{2}⟩ = ⟨\binom{r′′}{h′′}, \binom{−h′}{r′}⟩ = −r′′h′ + h′′r′ = κ_{1}

Bemerkung 2. Wegen r^{′2} + h^{′2} = 1 gilt

0 = (r^{′2} + r^{′2})′ = 2r′r′′ + 2h′h′′
⇔ 0 = r′r′′ + h′h′′
⇔ r′′ = −\frac{h′h′′}{r′}  (∗)

Es ergeben sich für κ_{1} folgende weitere Darstellungen:

κ_{1} = −r′′h′ + h′′r′ =^{(∗)} \frac{h′h′′}{r′} h′ + h′′r′ = \frac{h′′}{r′} \underbrace{(h^{′2} + r^{′2})}_{=1 n.V.} = \frac{h′′}{r′} = \frac{h′′h′}{r′h′} =^{(∗)} −\frac{r′′}{h′}

(2) Gauß- und mittlere Krümmung

Die Gauß-Krümmung K : ℝ ⟶ ℝ ergibt sich also zu

K = κ_{1} · κ_{2} = −\frac{r′′}{h′} · \frac{h′}{r} = −\frac{r′′}{r}

Die mittlere Krümmung H : ℝ ⟶ ℝ ist

H = \frac{1}{2}(κ_{1} + κ_{2}) = \frac{1}{2}(\frac{h′′}{r′} + \frac{h′}{r} ) = \frac{rh′′ + r′h′}{2rr′} = \frac{(rh′)′}{(r^{2})′}

Es folgt für Flächen mit konstanter gaußscher Krümmung K ∈ ℝ bzw. konstanter mittlerer Krümmung H ∈ ℝ:

K = \frac{−r′′}{r}  ⟺  r′′ + rK = 0
H = \frac{rh′′ + r′h′}{2rr′}  ⟺  H · (r^{2})′ = (rh′)′

Ferner ergibt sich als Bedingung für Nabelpunkte einer Drehfläche

κ_{1} = κ_{2} ⟺ \frac{h′′}{r′} = \frac{h′}{r}  ⟺ h′r′ = h′′r  ⟺ \frac{h′′}{h′} = \frac{r′}{r}

(3) Fazit

Jede Bedingung an die mittlere Krümmung H und an die Gauß-Krümmung K führt also auf eine Differentialgleichung in r (da h durch h′ = ±\sqrt{1 − r^{′2}} – bis auf Verschiebung – festgelegt ist).

6 Scheinbare Degeneration

Es können Fälle auftreten, bei denen in einzelnen Punkten eine Singularität vorliegt, d.h. eine Hauptkrümmung wird 0, die andere unendlich (Das nennt man Degeneration der Fläche an diesen Punkten).

Aber: Eine Drehfläche kann auf der z-Achse (also r(t_{0}) = 0) in anderer Parametrisierung eine reguläre Fläche sein, sogar C^{∞} oder analytisch, obwohl dort

I(t) = (\begin{matrix}r^{′2}(t_{0}) + h′(t_{0}) & 0 \\ 0 & r(t_{0}) \end{matrix}) = (\begin{matrix}r^{′2}(t_{0}) + h′(t_{0}) & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})

scheinbar degeneriert. Man muss die Krümmungen dann über Grenzwertbildung berechnen:

κ_{2} = lim_{t→t_{0}} \frac{h′(t)}{r(t)}

Das ist (wegen r(t_{0}) = 0) nur dann nicht ±∞, wenn lim_{t→t_{0}} h′(0) = 0. Dann folgt

nach L’Hospital:

= lim_{t→t_{0}} \frac{h′′(t)}{r′(t)}

= ± lim_{t→t_{0}} \frac{h′′(t)}{\sqrt{1 − h′(t)^{2}}}

= ± \frac{lim_{t→t_{0}} h′′(t)}{\underbrace{lim_{t→t_{0}} \sqrt{1 − h′(t)^{2}}}_{=1}}

κ_{2} = ± lim_{t→t_{0}} h′′(t).

Beispiel. Betrachten wir die Sphäre, parametrisiert durch r(t) := sin t, h(t) := − cos t. Dann ist

κ_{1}(t) = −(r′′h′′ + r′h′′)(t) = sin^{2} t + cos^{2} t = 1
κ_{2}(t) = \frac{h′(t)}{r(t)} = \frac{sin t}{sin t} = 1 (auch für t = 0)

Also ist die Sphäre auch in t = 0 regulär (denn h′(0) = 0).

Bemerkung 3. Falls die Fläche regulär und mindestens C^{2} ist in einem solchen Punkt t_{0} mit r(t) = 0, so gilt dort notwendig κ_{1}(t_{0}) = κ_{2}(t_{0}) (Nabelpunkt).

Beweis. Es gilt hier r(t_{0}) = 0 = h′(t_{0}), also ist die vorhin gefundene hinreichende Bedingung h′r′ = rh′′ für Nabelpunkte erfüllt.

7 Drehflächen mit konstanter Gaußscher Krümmung K

Zur Bestimmung der Drehflächen konstanter Gaußscher Krümmung K suchen wir alle Lösungen der Differentialgleichung

r′′ + K · r = 0

Dabei sei t ⟼ (r(t), h(t)) auf Bogenlänge parametriesiert, was ja immer möglich ist, also

h′(t)^{2} = 1 − r′(t)^{2}.

Hier setzen wir jetzt das Comuteralgebrasystem ”Mathematica“ ein, was uns liefert:

Satz. Alle Lösungen der Differentialgleichung r′′ + K · r = 0 (unter der Bedingung |r′| ≤ 1 (wegen Parametrisierung auf Bogenlänge)) sind (für a, b ∈ ℝ) gegeben durch

r(t) = \begin{cases}a cos(\sqrt{K}t) + b sin \sqrt{K}t & K > 0 \\ at + b (mit |a| ≤ 1) & K = 0 \\ a cosh(\sqrt{−K}t) + b sinh(\sqrt{−K}t) & K < 0 \end{cases}

Veranschaulichen wir uns die damit entstehenden Drehflächen:

(1) K=0

• Für a = 0 ist r(t) = b, damit r′(t) = 0, h^{′2} = 1 − r^{′2} = 1, h(t) = t + c also das Bild von (r, h) eine Gerade, die parallel zur Drehachse verläuft:

t ↦ (\begin{matrix}b \\ 0 \\ t + c \end{matrix})

Für b ≠ 0 liefert die Drehung D_{ρ} dann den Zylinder mit der Gleichung x^{2} + y^{2} = b^{2}. (b = 0 ist der Entartungsfall der Gerade x = y = 0 – also die z-Achse –, was keine Fläche mehr darstellt).

Bild siehe Matematica

• Für a = ±1 ist (jeweils für alle t ∈ ℝ) r(t) = ±t + b, also r^{′2}(t) = 1, also (wegen der Parametrisierung nach Bogenlänge) h′(t) = 0, damit h = const. Das Bild von (r, h) ist also eine Gerade, die senkrecht zur Drehachse steht:

t ↦ (\begin{matrix}t + b \\ 0 \\ c \end{matrix})

Durch die Rotation entsteht die zur Drehachse senkrechte Ebene z = c.

Bild siehe Matematica

• Für alle a ∈ (0, 1) (sowie (a ∈ (−1, 0)) gilt

r : ℝ ⟶ ℝ
t ⟼ at + b
r′ = a
h^{′2} = 1 − a^{2}
h′ = ±\sqrt{1 − a^{2}}
h(t) = ±\sqrt{1 − a^{2}} · t + c

und unsere Kurve ist also

t ↦ (\begin{matrix}at + c \\ 0 \\ \sqrt{1 − a^{2}} · t + c \end{matrix})

Dies ist eine Gerade, die schräg zur Drehachse steht. Durch Rotation entsteht so ein gerader Kreiskegel.

Bild siehe Mathematica

(2) K > 0

Hier ist

r̃(t) = ã cos(\sqrt{K}t) + b̃ sin(\sqrt{K}t),

was wir durch eine (die Fläche ja nicht verändernde) Parameterverschiebung um t_{0} zu

r(t) = ã cos(\sqrt{K}(t + t_{0})) + b̃ sin(\sqrt{K}(t + t_{0}))

= ã cos(\sqrt{K}t + \sqrt{K}t_{0}) + b̃ sin(\sqrt{K}t + \sqrt{K}t_{0})

= ã(cos(\sqrt{K}t) cos(\sqrt{K}t_{0}) − sin(\sqrt{K}t) sin(\sqrt{K}t_{0}))+

+ b̃(sin(\sqrt{K}t) cos(\sqrt{K}t_{0}) + cos(\sqrt{K}t) sin(\sqrt{K}t_{0}))

= cos(\sqrt{K}t) \underbrace{(ã cos(\sqrt{K}t_{0}) + b̃ sin(\sqrt{K}t_{0}))}_{=:a} + sin(\sqrt{K}t) \underbrace{(b̃ cos(\sqrt{K}t_{0}) − ã sin(\sqrt{K}t_{0}))}_{=0, für t_{0} geeignet.}

r(t) = a cos(\sqrt{K}t)

umformen können. Es ergibt sich

h′(t)^{2} = 1 − r′(t)^{2}
= 1 − a^{2}K sin(\sqrt{K}t)^{2}

Da wir nur reellwertige Funktionen betrachten, muss also gelten:

0 ≤ a^{2}K sin^{2}(\sqrt{K}t) ≤ 1

Es ergibt sich (bis auf Verschiebung in Achsenrichtung eindeutig)

h(t) = ∫_{0}^{t} \sqrt{1 − a^{2}K sin^{2}(\sqrt{K}x)}dx.

Dabei entsprechen die Fälle

• a^{2}K = 1 der Sphäre Bild siehe Mathematica ,

• 0 < a^{2}K < 1 dem Spindeltyp Bild siehe Mathematica und

• a^{2}K > 1 dem Wulsttyp Bild siehe Mathematica .

(3) K < 0

Für Rotationsflächen mit negativer konstanter gaußscher Krümmung gilt.

r(t) = a cosh(\sqrt{−K}t) + b sinh(\sqrt{−K}t)

Auch hier können wir drei Typen unterscheiden:

• Für b^{2} > a^{2} erhält man den Kegeltyp Bild siehe Mathematica ,

• für a^{2} > b^{2} erhält man den Kehltyp (oder hyperbolischen Typ) Bild siehe Mathematica .

• Für a = b und K = −1 erhält man

r(t) = a(cosh t + sinh t)

= a\frac{1}{2}(e^{t} + e^{−t} + e^{t} − e^{−t})

= ae^{t}

und damit

h′(t)^{2} = 1 − a^{2}e^{2t}
h(t) = ∫_{0}^{t} \sqrt{1 − a^{2}e^{2x}}dx

Dies ist die berühmte Pseudosphäre (Beltramis Fläche) mit der Traktrix (Schleppkurve) als Meridiankurve. Bild siehe Mathematica Für K ≠ −1 und a^{2} = b^{2} ergeben sich ähnliche Flächen.

8 Quellen

Quellen waren

• vor allem das Kapitel 3C im Buch ”Differentialgeometrie (Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten)“ von W. Kühnel,

• ergänzend das Buch ”Differentialgeometrie, Kurven und Flächen“ von V. Wünsch (Kapitel 5)

• (v.a. für die Mathematica-Anteile) ”Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces“ von A. Gray (Kapitel 21, nicht 20),

• Der Vortrag von Aleksander Momot und Christian Thier für die Definitionen der wichtigsten Krümmungsgrößen.