| Die 3D-Computergrafik beruht nicht nur auf der analytischen Geometrie - Grafikprogramme wie POV-Ray können auch genutzt werden, um Objekte und Zusammenhänge der räumlichen analytischen Geometrie und linearen Algebra (bis hin zu Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme - siehe Visualisierung des Gauss-Algorithmus) zu veranschaulichen. |
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Oft ist es in der analytischen Geometrie des Raumes schwer, sich die Lage von Objekten (wie Vektoren, Punkten, Strecken, Geraden und Ebenen) vorzustellen. Ich habe deshalb Erweiterungen (Makros) für POV-Ray erstellt, mit deren Hilfe Sie dieses Programm gut verwenden können, um Objekte (Punkte, Vektoren, Strecken, Geraden und Ebenen) sowie deren Lagebeziehungen zu veranschaulichen.
Die Erweiterungen stehen sowohl für das von POV-Ray verwendete linkshändige Koordinatensystem (siehe Bild oben in der Mitte) als auch für das in der Literatur und im Unterricht meist auftretende rechtshändige Koordinatensystem zur Verfügung - die Unterschiede werden in der Anleitung näher beschrieben.
Laden Sie folgende Dateien herunter, um mit POV-Ray Objekte und Lagebeziehungen der linearen analytischen Geometrie
des Raumes zu visualisieren:
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Für das linkshändige Koordinatensystem:
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Makropaket "anageoL" | POV-Ray-Vorlage |
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Für das rechtshändige Koordinatensystem:
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Makropaket "anageoR" | POV-Ray-Vorlage |
Mithilfe dieser Dateien können Sie Punkte, Vektoren, Strecken, Geraden und Ebenen im Raum darstellen, aus unterschiedlichen Richtungen betrachten und Lagebeziehungen visuell untersuchen.
Die beiden folgenden Videos zeigen, wie Geraden bzw. Ebenen mit vorgegebenen Richtungsvektoren durch die Vergrößerung und Verkleinerung ihrer Parameter "entstehen".
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Wird in Parameterdarstellungen der Parameter als Zeit aufgefasst, so lassen sich damit Animationen (Videos) erzeugen.
Der Gauss-Algorithmus ist ein Lösungsverfahren für die Lösung linearer Gleichungssysteme (LGS). Die naheliegendste geometrische Interpretation der Lösung eines LGS besteht darin, die Ebenen zu betrachten, die durch jede der 3 Gleichungen beschrieben werden. Die Koordinaten des Schnittpunktes der drei Ebenen bilden (falls ein solcher existiert) die Lösung des LGS. Mittels des Gauss-Algorithmus werden die drei Gleichungen schrittweise so umgeformt, dass Ebenen entstehen, die zu den Koordinatenebenen parallel sind. Die erste Visualisierung zeigt die Auswirkung der einzelnen Umformungsschritte auf die durch die Gleichungen beschriebenen Ebenen.
Bei der zweiten Visualisierung werden die drei Gleichungen in Matrizenform geschrieben und die Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix des LGS sowie der (rechte) Vektor der absoluten Glieder betrachtet. Durch die Lösungsschritte des Algorithmus werden diese Vektoren schrittweise dahingehend modifiziert, dass die Spaltenvektoren die Richtungen der drei Koordinatenachsen erhalten.
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Klicken Sie auf eines der beiden Bilder, um die entsprechende Visualisierung zu starten.
Bei jeder der beiden Visualisierungen steht neben den (mit POV-Ray erzeugten) Bildern für jeden Lösungsschritt ein Video (MPEG-Format) zur Verfügung, bei dem die Ebenen bzw. Vektoren aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet werden (Kamerafahrt). Indem Sie auf den entsprechenden Seiten auf "Video dieses Schrittes" klicken, werden diese Animationen gestartet (Windows Mediaplayer erforderlich). Beachten Sie bitte, dass die Videos jeweils eine Größe von ca. 0,65 MByte haben, so dass das Laden bei langsamen Internetverbindungen etwas Zeit in Anspruch nimmt.
Neben den Bildern und Videos, welche die einzelnen Lösungsschritte darstellen, stehen zur Verfügung:
Mithilfe von POV-Ray können nicht nur - geometrisch recht langweilige - lineare Objekte der analytischen Geometrie wie Geraden und Ebenen dargestellt und untersucht werden. Auch die Visualisierung interessanter Kurven und Flächen des Raumes - bis hin zu der auf der Startseite gezeigten Kleinschen Flasche - sowie die Erzeugung von Videos durch Bewegungen entlang von Kurven - sind möglich.
Andreas Filler, 2002-2011
