Mathematik für InformatikerInnen III

Änderungen am vorläufigen Übungsblatt vom 6.12. (8.12.2005):

Wenn Sie am Dienstag, dem 6.12.2005, an der Übung teilgenommen haben und von dort das ausgegebene vorläufige Übungsblatt mitgenommen haben, dann ersetzen Sie es bitte durch die nun verfügbare Version. Beide sind einfach zu unterscheiden: Falls auf Ihrem Blatt bei allen Aufgaben (X Punkte) steht, dann haben Sie noch die alte Version.
Änderungen im Überblick:

• Aufgabe 2 wurde umformuliert und einige Zinswerte geändert.
• In Aufgabe 3 wurden die Nebenbedingungen (2) und (4) verändert um den zulässigen Bereich schöner zu gestalten.
• Aufgabe 5: Die Transformationen sollen nicht auf die Form min d^Tz, sondern auf max d^Tz führen.
• Die Daten in Aufgabe 6 wurden so verändert, das der angepasste Branch&Bound - Algorithmus aus der Übung auch von Hand zu schaffen ist. Bis nächste Woche wird es hier eine Beschreibung des Branch&Bound - Algorithmus mit dem Beispiel aus der Übung geben.

Aufgabe 1 (Interpolation)

• Fehler im Skript (1.12.):

  Leider ist im Skript ein Fehler in Lemma C28 (das ja eigentlich auch D28 heissen müßte), für die Koeffizienten c_i wurde eine falsche Formel angegeben. Richtig muss es heissen:

  c_i = (y_i - y_i-1)⁄Δx_i - (z_i + 2 z_i-1) Δx_i⁄6

  Siehe auch hier.

  Skripte zum Herunterladen sind korrigert. Teil D wird nun auch mit D statt C nummeriert.
  Auch Seitenzahlen sind nun mit drauf.

• Hinweis zur Bewertung in Aufgabe 1 (2.12.):

  Für die Angabe der Koeffizienten des Ausgleichspolynoms gibt es insgesamt maximal 5 Punkte (und nicht 5 je Koeffizient).

• Kein nichtlineares Ausgleichsproblem! (2.12.):

  Bei der Teilaufgabe mit den gestörten Daten ist die Berechnung der nichtlinearen Ausgleichsfunktion aus dem Ansatz a+b cos(x) zu streichen.

• Zusatzaufgabe B (2.12.):

  Diese Aufgabe soll mit dem Gauß - Newton - Verfahren gelöst werden. Das wurde aber nicht in der Vorlesung behandelt. Also bitte nicht im Skript oder in Ihren Aufzeichnungen suchen. (Wenn Sie es trotzdem wissen wollen: Nocedal/Wright, S259-262)

• Hinweis zur Bewertung Zusatzaufgabe B (2.12.):

  Wenn Sie die Zusatzaufgabe lösen, dann gibt es insgesamt maximal 5 Punkte (und nicht 5 je Koeffizient).

• Was ist abzugeben ??, Hinweis (2.12.):

  Quelltexte bzw. nachvollziehbare Rechenwege zur Bestimmung von Lagrange-Polynom, Spline und Ausgleichspolynom (und natürlich die geforderten Interpretationen, Grafiken und Tabellen).

Aufgabe 2 (Numerische Integration)

• Vertauschte Indizes bei Romberg (2.12.):

  Leider sind in der Aufgabe unterer und oberer Index bei allen Rs vertauscht:

  • Abbruchbedingung: | R_k^k - R_k^k-1 | < δ | R_k⁰ |
  • Tabelle: R_k⁰, R_k¹ ,..., R_k^k

• Hinweis (2.12.):

  Tabellen mit den berechneten Integralnäherungen: Sie bekommen für jede der beiden Tabellen ( es sind ja 2 verschiedene Funktionen zu integrieren ) maximal 5 Punkte.

• Was ist abzugeben ??, Hinweis (2.12.):

  Quelltexte für Trapez, Simpson und Romberg (und natürlich die geforderten Interpretationen, Grafiken und Tabellen).

Aufgabe 1 (Anfangswertaufgaben)

• Teilaufgabe (ii), Korrektur (17.11.):

  Andere Anfangsbedingung verwenden: x(1) = 0 oder x(1) = -2 !

• Was ist abzugeben ??, Hinweis (17.11.):

  Nachvollziehbarer Rechenweg und Lösung.

• Korrektur (15.11.):

  In der Formel zur näherungsweisen Berechnung der Fehlerkonstanten sollte nicht nur die y - Komponente des Vektors (x,y,z) stehen, sondern der gesamte Vektor. Dementsprechend ist dann die Norm der Differenz der Lösungen für die Schrittweite h_nk und die halbierte Schrittweite h_n(k+1) zu berechnen und durch die Schrittweite h²_nk zu teilen (in der ursprünglichen Aufgabe stand dort nur h²):

  mit

• Hinweis (17.11.):

  Führen Sie die Untersuchung der Fehlerkonstanten nur für T=1 durch, nicht für T=20 !

• Hinweis (17.11.):

  Die zu beobachtenden Effekte verstärken sich mit fortschreitender Integrationsdauer! Sehr deutlich werden sie mit T=25 oder T=30 oder noch grösser.

• Hinweis (17.11.):

  Zur Variation der Anfangspunktes: Addiere oder subtrahiere z.Bsp. 0.0001 oder 0.001 zum Startpunkt. Erstelle eine Tabelle des Abstands zwischen den Lösungen, die zum ungestörten und gestörten Anfangspunkt von Ihnen berechnet wurden (für ihr T ≥ 20).
  (Es können auch verschiedene T≥20 probiert werden und dann Ergebnisse nur zu der Zeit T abgegeben werden, bei der der grösste Unterschied auftrat.)

  Interpretation nicht vergessen!!

Aufgabe 1 (Riemannsche Zeta-Funktion)

• Teilaufgabe (ii), Ergänzung (2.11.):

  Erstelle eine Tabelle der Fehler zwischen dem exakten Wert und der 10ⁱ -ten (i=1,..,10) Partialsumme für x = 2!!
  Interpretieren Sie die Beobachtungen!

• Teilaufgabe (iv), Korrektur (1.11.):

  Untersuche das Programm an der Stelle x = 2 und nicht wie ursprünglich angegeben an der Stelle x = 1.

• Was ist abzugeben ??, Ergänzung (4.11.):
  • Jeweils die berechenten Werte, für x=2 auch die Differenz zum exakten Wert.
  • Tabelle aus Teilaufgabe (ii)
  • Interpretation der Werte und Beobachtungen
  • Sourcecode der Programme

• Teilaufgabe (ii), Hinweis (1.11.):
  Schreiben Sie sich zuerst die Formel für die Determinante mit Symbolen (a₁₁, a₁₂, ...) hin. Zur Erleichterung setzen Sie dann die Einsen (und auch die Null) aus dem gegebenen Gleichungssystem ein, bevor Sie den Rundungsfehler abschätzen!

• Teilaufgabe (iv), Korrektur (2.11.):
  Natürlich ist hier immer von einer Fehlerabschätzung für die dritte Komponente x₃ die Rede (und nicht von x₁) !!

• Was ist abzugeben ??, Ergänzung (4.11.):
  • Jeweils die berechenten Werte in (i), dazu Interpretationen
  • Schranke mit Herleitung in (ii)
  • Werte und Interpretation bei (iii)
  • Sourcecode der Programme

• (Leichte) Veränderung des Gleichungsystem (25.10.):
  t wurde durch t^* ersetzt, da ja die Lösung t^* das Gleichungssystem erfüllt und nicht jedes beliebige t.

• Neue Werte (wie in der Vorlesung versprochen) (27.10.):
  
  • Startpunkt für Newton ( 1, 1, 12.5 )
  • Widerstandswert c = 0.05

• Was ist abzugeben ??, Ergänzung (4.11.):
  • Tabelle mit den Iterierten und Residuen der Newton - Schritte
    • Was ist denn das Residuum?? siehe modifiziertes Aufgabenblatt HIER
  • Lösung (v,delta) am Abschusspunkt
  • Bewertungder Konvergenzgeschwindigkeit
  • Sourcecode der Programme