HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 1 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 1. Konstruieren Sie eine Folge (Ω, F_{n}, IP_{n})_{n∈IN} von Wahrscheinlichkeitsräumen (mit jeweils der gleichen Grundmenge Ω), so daß gilt:

i) F_{1} ⊂ F_{2} ⊂ … und IP_{n+1}|_{F_{n}} = IP_{n} für n ∈ IN.

ii) Es existiert kein Wahrscheinlichkeitsmaß IP auf F := σ (⋃_{n∈IN} F_{n}), so daß IP_{n} = IP|_{F_{n}} für alle n ∈ IN.

(Hinweis: Versuchen Sie es mit Ω = ]0, 1], endlichen σ-Algebren F_{n} und Maßen IP_{n}, die nur die Werte 0 und 1 annehmen.) (4)

Aufgabe 2. Sei (X_{i}, F_{i})_{i∈I} eine Familie meßbarer Räume, X = X_{i∈I}X_{I} und F die Produktσ-Algebra auf X (also die gröbste σ-Algebra auf X, so daß für jedes i ∈ I die Abbildung X → X_{i}, (x_{i})_{i∈I} ↦ x_{i} meßbar ist). Zeigen Sie: Zu jedem A ∈ F existiert eine höchstens abzählbare Teilmenge I_{A} ⊂ I, so daß für alle x = (x_{i})_{i∈I}, y = (y_{i})_{i∈I} ∈ X gilt:

x_{i} = y_{i} für alle i ∈ I_{A} ⟹ (x ∈ A ⟺ y ∈ A). (4)

Aufgabe 3. Sei (Ω, F, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Präzisieren und beweisen Sie: Durch

d(A, B) := μ(AΔB) (A, B ∈ F)

wird (F, d) zu einem vollständigen metrischem Raum, falls man Mengen identifiziert, die sich nur um eine Menge vom Maß 0 unterscheiden. (Dabei bezeichne AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A) die symmetrische Differenz der Mengen A, B.) (4)

Aufgabe 4. Zeigen Sie: Es existiert eine Menge A ∈ B([0, 1]), so daß für jedes Intervall I ⊂ [0, 1] mit echt positiver Länge gilt:

λ(I ∩ A) > 0 und λ(I \ A) > 0 (λ = Lebesguemaß).

(Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis von Aufg. 3 sowie den Satz von Baire: Ist (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und (U_{n})_{n∈IN} eine Folge offener dichter Teilmengen von X, so ist ⋂_{n∈IN} U_{n} nichtleer.) (4)

Literaturempfehlung zum Auffrischen der Maßtheorie: J. Bellach, P. Franken, W. Warmuth, E. Warmuth: Maß, Integral und bedingter Erwartungswert, Akademie-Verlag Berlin 1978 (in der Bibliothek vorhanden)

Abgabe: Mittwoch, 2.5.01 vor der Übung