HUMBOLDT-UNIVERSITÄT ZU BERLIN

BEREICH STOCHASTIK PROF. IMKELLER

Blatt 11 SoSe 01

Übungen zur Stochastik II

Aufgabe 41. Sei (X_{n})_{n∈IN} eine Folge von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit IP(X_{n} = 1) = IP(X_{n} = −1) = \frac{1}{2}. Für n ∈ IN_{0} sei S_{n} = ∑_{i=1}^{n} X_{i} und M_{n} = max(S_{0}, …, S_{n}). Zeigen Sie, daß für alle r, n ∈ IN gilt:

IP(M_{n} ≥ r) = 2IP(S_{n} ≥ r + 1) + IP(S_{n} = r).

(Hinweis: Eine Skizze ist hier sehr nützlich.) (4)

Aufgabe 42. Sei (X_{n})_{n∈IN_{0}} ein stochastischer Prozeß mit Werten in der abzählbaren Menge S und F_{n} = σ(X_{0}, …, X_{n}), n ≥ 0, sowie P eine Übergangsmatrix auf S. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen

(i) (X_{n})_{n≥0} ist eine Markovkette mit Übergangsmatrix P.

(ii) Für jede beshränkte Funktion f auf S ist der Prozeß

M_{n}^{f} = f(X_{n}) − ∑_{i=0}^{n−1}(P − I)f(X_{i}), n ≥ 0,

ein Martingal. (P f(x) := ∑_{y∈S} P (x, y)f(y), I bezeichnet die Einheitsmatrix.) (4)

Doppelaufgabe 43/44. Sei (ξ_{n})_{n≥1} eine Folge von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit Werten in ZZ^{d} und X_{n} = ∑_{i=1}^{n} ξ_{i} für n ∈ IN_{0}. Sei ferner μ = IP_{ξ_{1}} und

μ̂(θ) = IE (e^{i⟨ξ_{1},θ⟩}) für θ ∈ IR^{d}.

a) Zeigen Sie, daß für alle n ∈ IN_{0} und x ∈ ZZ^{d} gilt:

IP(X_{n} = x) = \frac{1}{(2π)^{d}} ∫_{[−π,π]^{d}} e^{−i⟨θ,x⟩} μ̂(θ)^{n} dθ.

b) Sei N = #{n ∈ IN_{0} : X_{n} = 0} ∈ IN_{0} ∪ {+∞} die Anzahl der Besuche bei 0. Zeigen Sie: Falls μ symmetrisch ist (d.h. μ(B) = μ(−B) für alle B ∈ B(IR^{d}), so ist

IE(N) = \frac{1}{(2π)^{d}} ∫_{[−π,π]^{d}} \frac{dθ}{1 − μ̂(θ)},

wobei \frac{1}{0} := +∞. (Beachten Sie, daß beide Seiten unendlich sein können!)

c) Sei nun (X_{n})_{n≥0} eine symmetrische Irrfahrt auf ZZ^{d} (d.h. IP(ξ_{1} = e_{i}) = IP(ξ_{1} = −e_{i}) = \frac{1}{2d}, i = 1, …, d, wobei e_{1}, …, e_{d} die Einheitsvektoren in IR^{d} sind). Für welche Dimensionen d ist IE(N) < ∞? (Hinweis: Polarkoordinaten!) (8)

Abgabe: Mittwoch, 11.07.01 vor der Übung